Элементарные преобразования слау
К элементарным преобразованиям относят следующее:
1)Перестановка уравнений слау
2)Умножение обеих частей любого уравнения слау на одно и то же число
3)Прибавление к любому уравнению слау другого уравнения, умноженного на некоторое число.
4)Отбрасывание тех уравнений слау все коэффициенты=0
Все элементарные преобразования слау приводят эту систему к эквивалентной ей системе.
Метод Гаусса
Рассмотрим слау вида (1). При использовании метода Гаусса к элементарным преобразованиям слау добавляется перестановка столбцов матрицы А.
Если поменять местами i и j столбец этой матрицы, то неизвестные хi и хj меняются местами.
Прямой ход Гаусса (алгоритм)
1)Пусть элемент а11=1, если это выполнимо, то используя элементарные преобразования добиваемся того, чтобы а11=1.
2)Умножая 1 уравнение на элемент а21 и вычитая из второго, получаем 0 на месте элемента а21.
3)Умножая 1 уравнение на а31 и вычитая из 3-ого уравнения, получаем ноль на а31.Продолжаем до тех пор, пока в первом столбце а11 не будут=0.
4)Пусть элемент а,22=1, умножая уравнения начиная с третьего на соответствующие элементы и вычитая, получаем нули во втором столбце матрицы А и т.д. После окончания процесса мы получаем верхнюю треугольную матрицу:
А=
на этом прямой ход метода Гаусса закончен.
Обратный ход метода Гаусса
В переходе от матричной записи системы к обычной:
1)Из последнего уравнения находим хn
2)Подставляем хn в предпоследнее уравнение находим хn-1 и т.д.
Расширенной матрицы системы – это:
Ā
а11…а1n
в1
а21…а2n
в2
аm1…аmn
вm
П
римечание:
при использовании метода Гаусса
работают обычно с матрицей Ā; если в
результате прямого хода нами будет
получена строка вида (00…0 в) в≠0, то
говорят, что слау несовместна.
Теорема Кронеккера-Капелли.
Для того чтобы слау бала совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А=Ā.
Векторная алгебра
Вектор - направленный отрезок.
В
А
АВ
Все векторы делятся на три вида:
1)Прикрепленные (начало фиксированное)
2)Скользящие (возможно перемещение вектора в плоскости)
3)Свободные (возможен не только параллельный перенос, но и поворот векторов)
М одуль вектора- его длина, т.е. длина АВ
Нулевой вектор
-начало
и конец совпадают, т.е. длина=0, а направление
неопределенно.
Единичный вектор-вектор, длина которого=1.
Ортом вектора ā° называется единичный вектор, соответствующий вектору ā (имеет то же направление, что и а, но имеет единичную длину)
Два вектора коллинеарные, если существует прямая, которой оба эти вектора параллельны.
Три вектора называются компланарными, если существует плоскость, которой все эти векторы параллельны.
Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и направления совпадают.
Два вектора называются противонаправленными, если они коллинеарны, а направления не совпадают.
Два вектора называются ортогональными, если угол между ними=90°