Алгоритм построения обратной матрицы

1)Найти определитель А, если detA≠0, то обратная матрица существует.

2 )Вычислить алгебраические дополнения элементов матрицы А.А_ij, i=1,m; j=1,n.

3)Записать матрицу присоединенную к матрице Ã=

4)НайтиА^-1= Ã

Пример:

1)А= detA=7≠0

2)А₁₁=1; А₂₁=-2

А₁₂=3; А₂₂=1

3) Ã=

4)А^-1=

А^-1=

Свойства:

а)( А^-1)=А

б) (А^т)^-1=(А^-1)^т

в)(АВ)^-1=В^-1А^-1

г)det(F^-1)=

д)det(kA^-1)=

е)(kA)^-1=

Процесс построения матрицы обратной к матрице А называется обращением этой матрицы. Поскольку в процессе обращения матрицы А использовалась операция транспонирования запишем некоторые свойства транспонированных матриц.

а)(А+В)^т=А^т+В^т

б)(kA)^т=kA^т

в)(АВ)^т=В^тА^т

г)(А^т)^т=А

Системы линейных алгебраических уравнений.(слау).

СЛАУ - называется системой вида.

Матричная запись системы 1 имеет вид.

Ах=В

А=

х=

в=

А-матрица коэффициент системы или матрица системы.

х- матрица столбец неизвестных.

в- матрица столбец свободных коэффициентов.

.Если m=n, то система 1-квадратная слау.

Решением слау называется такая совокупность х₁,х₂,…,х_n, которое каждое уравнение системы превращает в числовое тождество.

Однородные (В=Ө)

С лау

Неоднородные (В≠ Ө)

Хотя бы 1 решение

Единственное решение

С

Не имеет ни одного решения

лау

Если слау не имеет решений- несовместная.

Если хоть одно решение- совместная.

Если единственное решение- определенная.

Решение слау называется тривиальным, если х₁=х₂=…х_n=0.

Если совокупности х₁,х₂,х_n есть хоть одно х_i≠0, то решение является нетривиальным.

Однородная система всегда совместна, поскольку всегда имеет тривиальное решение.

Две слау называются тривиальными, если все решения одной из них являются решением другой.

Метод Крамера

Рассмотрим кв.слау:

(2)

Определителем системы (2) называется определитель ∆

а₁₁ а_12… а_1n

а₂₁ а_22… а_2n

а_n1 а_n2… а_nn

∆=

Теорема: если определитель системы (2)≠0, то это система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера.

х_i= (3), i=1,n, где ∆_i- это определитель полученный из определителя ∆ с заменой i-столбца на столбец свободных коэффициентов.(без док-ва).

Теорема: однородная слау имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель ∆ этой системы будет=0(без док-ва).

Примечание: если матрица коэффициентов системы (2) не является одним из широко используемых решения слау.

К недостаткам этого метода можно отнести то, что вычисление определителей любой ∆ и ∆i будет достаточно сложным для любой системы порядка выше третьего.

Матричный способ решения слау

Рассмотрим кв.слау (2).

Матрица А этой слау также квадратная.

Очевидно, что ∆= detA

Ах=В

А^-1Ах=А^-1В

Если А в матричной записи слау стоит слева от матрицы Х, то и А^-1 в записи решения этой сдау будет стоять слева от матрицы В.

Пример:

А= ; х= ; В=

detА=13≠0

Ах=В

Х= А^-1В

А₁₁=1 А₂₁=3

А₁₂=-3 А₂₂=4

А^-1=

Х= =

Достоинством матричного метода можно отнести возможность решать любое кол-во слау с одинаковой левой частью и различными правыми частями.

К недостаткам этого метода относят большое кол-во вычислений при нахождении обратной матрицы и требование того, чтобы А должна быть невырожденной и квадратной.