Линейные операции над векторами
1)Сложение:
2)Вычитание:
3)умножение вектора на число:
λ≠0
а
)
λ≠ ,λ≠0
б
)
λ ,λ‹1
Свойства линейных операций над векторами
1)
!
:
+
=
;
;
2) ! : + = ;( =- ); ;
3)(
+
)+
=
+(
+
)
4) λ=λ
5)0 =
6)(λ+μ) =λ +μ
7)λ( + )=λ +λ
Линейная зависимость и независимость векторов
Пусть имеется система векторов:
,
…,
(1)
Линейной комбинацией системы векторов 1 называется выражение:
λ
1
+λ2
+…+λn
(2), λi є
R, i=1,n.
Л инейная комбинация (2) называется тривиальной, если все λi=0 при i=1,n.
Система векторов (1) называется линейно независимой, если=0 только тривиальная линейная комбинация этой системы векторов (1).
Система векторов (1) называется линейно независимой, если линейная комбинация (2)=0 и при этом существует хотя бы одно λi≠0.
Пример:
0
+2
+0
=
,
,
,
-линейно
зависимая система векторов.
Свойства линейной комбинации векторов
Если все векторы системы (1) коллинеарны друг другу, то и линейная комбинация этих векторов также коллинеарна векторам системы.
Если векторы (1) компланарны друг другу, то и линейная комбинация этих векторов также компланарна векторам системы.
Понятие базиса. Координаты вектора.
Пусть дана система векторов (1) и пусть произвольный вектор Х представлен в виде:
=
+
+…+
(3),
тогда говорят, что вектор Х расписан по
векторам системы (1).Говорят, что система
векторов
,
,
называет базисом некоторого пространства,
если выполнены 2 условия:
1) , , -линейно независимы
2)Любой этого пространства можно разложить по векторам , , , т.е.(3)
При этом система , , -упорядоченная.
Пример:
Пусть
даны 2 неколлинеарных вектора а→,в→
1) λ
2)
λ2 λ2 =
λ 1 =λ1 +λ2
λ1
Коэффициенты λi в разложении (3) называется координатами в базисе , ,
Теорема: разложение вектора в любом базисе всегда однозначно.
Представим себе, что некоторый
вектор а разложен по базису в пространстве
двумя способами: а=
и а=
,
вычитая из первого выражения второе,
мы получим
+
.
Если хоть одна из разностей в скобках
не равна нулю, мы можем разложить один
из векторов базиса по остальным. Например,
при
имеем
Это противоречит некомпланарности базисных векторов. Полученное противоречие доказывает единственность разложения по базису в пространстве. Аналогично доказывается единственность разложения и в других случаях. Теорема полностью доказана.
Теорема: базис называется ортогональным, если все векторы этого базиса попарно ортогональны.
Ортогональный базис называется ортонормированным, если длины всех его векторов=1.