Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости.

Для того чтобы записать уравнение линии первого порядка на плоскости, необходимо вспомнить вид линейной функции (линейность по обеим переменным).

1)Пусть В 0

Ву=-Ах-С

(2)-уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2)В=0

Ах+С=0

Ах=-С

а

х=- прямая, параллельная оси Оу.

В этом случае

Задачи на прямую линию.

1.Найти прямую линию, имеющую данный угловой коэффициент и проходящий через данную точку.

Уравнение ищем в виде (2)

Если прямая (кривая, плоскость, поверхность) проходит через данную точку, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой (кривой, плоскости, поверхности).

(3)-уравнение прямой с данным угловым коэффициентом, проходящим через данную точку.

Замечание: если в уравнении (3) менять значение k, то получатся прямые все равно будут проходить через точку А. Таким образом при различных значениях k уравнение (3) будет задавать пучок прямых, проходящих через точку А.

2)Провести прямую, проходящую через две данные точки.

Воспользуемся формулой (3)

Рассмотрим производную прямую, проходящую через А₁

По условию задачи эта прямая должна проходить через точку А₂, тогда координаты точки А₂ будут удовлетворять уравнению данной прямой. Мы получим следующее равенство:

Таким образом, выражая k из двух последних равенств, получим уравнение:

Используя свойство пропорции будем иметь

(4)-уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

3)Найти угол между двумя прямыми, заданными в виде (2)

у

о х

Пусть -острый угол между и , тогда

(5)

4)Условие параллельности прямых

Пусть С=0, тогда уравнение (1) примет вид:

;

(6) график прямой пропорциональности, прямая проходит через начало координат.

Пусть в уравнении (1) С , тогда

=

(7) уравнение прямой в отрезках.

-отрезок, отсекаемый прямой на оси Ох

-отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу

У равнение (7) исполняется для построения любой прямой, для которой С 0 на плоскости.

у

0 х

Нормальный и направленный вектор прямой

Запишем уравнение (1)

Определение: вектор =(А,В) называется нормированным вектором прямой .

называется направленным вектором прямой .

Примечание: легко заметить, что прямая на плоскости может быть задана:

1)Двумя точками, лежащими на этой прямой

2)Точкой и угловым коэффициентом прямой

3)Точкой и направленным вектором

4)Точкой и нормальным вектором

(предполагается, что или строятся вначале так, чтобы их начало совпадало с началом координат, а затем начало вектора переносица в заданную точку).

5)Отрезками, отсекаемыми на осях координат.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых можно переписать, используя понятия нормального и направляющего векторов.

1 )

2 )

Пример: А(2;-3)

В(-3;-4)

Найти проекцию точки М с координатами М(-6;4) на прямую АВ

М

В

К-?

А

АВ=

Ответ: К