2) Потік вектора напруженості та індукції електричного поля. Теорема Остроградського-Гауса

Е

Рис.3.3

лементарним потоком вектора напруженості електричного поля називається скалярна величина, рівна скалярному добуткові вектора напруженості електричного поля і одиничного вектора нормалі на площу елементарної поверхні:

де – кут між векторами і .

П одібним чином можна дати визначення елементарного потоку вектора індукції електричного поля, який рівний:

Потік вектора напруженості електричного поля через деяку поверхню S визначається за формулою:

В ін пропорційний числу силових ліній, які пронизують цю поверхню.

Потік вектора індукції електричного поля через деяку поверхню S рівний:

Р

озглянемо деякий точковий позитивний заряд , який помістимо в центрі сферичної поверхні S радіусом R (рис. 3.4). Обчислимо потік вектора напруженості електричного поля через цю замкнену поверхню

. (3.14)

Напруженість електричного поля точкового заряду в будь якій точці сферичної поверхні рівна

. (3.15)

Підставимо (3.15) в (3.14), врахуємо, що кут між векторами і в даному випадку .

.

О скільки для всіх точок сферичної поверхні величина R є постійною то, винісши постійні множники за знак інтегралу, отримаємо:

. (3.16)

Але інтеграл по замкнутій поверхні S - це площа сферичної поверхні, яка рівна:

. (3.17)

Підставимо вираз (3.17) в (3.16):

. (3.18)

У країнський вчений М.В.Остроградський і німецький вчений К.Гаус довели, що формула (3.18) справедлива для замкненої поверхні довільної форми і довільної кількості електричних зарядів, які знаходяться всередині цієї поверхні. Тому в загальному випадку формулу (3.18) можна представити у вигляді:

. (3.19)

Формула (3.19) – це теорема Остроградського-Гауса для напруженості електричного поля: потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнену поверхню рівний алгебраїчній сумі електричних зарядів, охоплених цією поверхнею, поділеній на діелектричну проникність середовища.

П омножимо рівняння (3.19) на . Враховуючи, що цей множник постійний, внесемо його під знак інтегралу: . (3.20)

Враховуючи (3.7), отримаємо

. (3.21)

3)Розрахунок електричних полів за допомогою теореми Остроградського-Гауса

Для розрахунку електричного поля створеного зарядженим тілом необхідно розбити це тіло на точкові заряди і визначити напруженість електричного поля в деякій точці простору за принципом суперпозиції. Для багатьох тіл такі розрахунки математично досить складні. Для деяких симетричних тіл розрахунок електричного поля значно спрощується при використанні теореми Остроградського-Гауса. Розглянемо деякі приклади таких розрахунків.

а) Електричне поле рівномірно зарядженої кулі.

Розглянемо кулю радіусом R рівномірно заряджену по об’єму з об’ємною густиною заряду

. (3.27)

Для рівномірного розподілу заряду можна вважати що

. (3.28)

Оскільки об’єм кулі рівний

, (3.29)

то підставивши (3.29) в (3.28) одержимо:

. (3.30)

Виберемо замкнену поверхню S у формі сфери радіусом r, центр якої співпадає з центром зарядженої кулі, як зображено на рис. 3.5. Розглянемо випадок коли , тобто визначимо напруженість електричного поля всередині зарядженої кулі. Запишемо теорему Остроградського-Гауса для випадку неперервного розподілу електричного заряду.

Рис.3.5

(3.31)

або

(3.32)

В даному випадку і , тому

. (3.33)

Виходячи з міркувань симетрії випливає, що величина Е за модулем постійна у всіх точках сферичної поверхні S, тому винесемо Е за знак інтегралу:

. (3.34)

У формулі (3.34) інтеграл по замкненій поверхні рівний площі сферичної поверхні радіусом r а інтеграл по об’єму V рівний об’єму цієї ж сферичної поверхні, тому

, (3.35)

. (3.36)

Підставимо вирази (3.30), (3.35) і (3.36) у формулу (3.34):

. (3.37)

Отже всередині рівномірно зарядженої по об’єму кулі напруженість електричного поля прямо пропорційна відстані від центру кулі до даної точки.

4

Рис.3.6

)Розглянемо випадок коли , тобто визначимо напруженість електричного поля ззовні зарядженої кулі (рис. 3.6). Запишемо теорему Остроградського-Гауса.

(3.38) Або . (3.39)

О скільки вектори і мають однаковий напрямок то . Виходячи з міркувань симетрії можна стверджувати, що модуль Е однаковий в усіх точках поверхні S. Врахуємо також, що поверхня S охоплює кулю з зарядом q, тоді вираз (3.39) набере вигляду:

. (3.40)

Підставимо (3.35) в (3.40):

. (3.41)

І

Рис.3.7.

з формули (3.41) випливає, що ззовні зарядженої кулі напруженість електричного поля, так само як і для точкового заряду, обернено пропорційна квадратові відстані від центру кулі до даної точки простору.

На рис. 3.7 зображено залежність напруженості електричного поля Е від відстані r .