- •1 Дійсний евклідовий простір
- •2 Ортонормований базис в евклідовому просторі
- •3 Ортогональне доповнення підпростору евклідового простору. Ізоморфізм евклідових просторів
- •4 Комплексний евклідовий простір (унітарний простір)
- •4. , Лише при .
- •5 Приклади розв’язання задач
- •Завдання для самостійного розвязування
- •7 Індивідуальні тестові завдання
Завдання для самостійного розвязування
ВАРІАНТ 1
1. Застосовуючи процес ортогоналізації, побудувати ортогональний базис підпростору, натягнутого на дану систему векторів
, , .
Відповідь: ,
2. Знайти ортогональну проекцію і ортогональну складову вектора на лінійний простір .
=
Відповідь: , .
3. Знайти ортогональний базис ортогонального доповнення , якщо = і , ,
Відповідь: і . .
4. Довести, що
5. Знайти довжини векторів , якщо задано , якщо , .
Відповідь: , ,
6. Знормувати вектор .
Відповідь:
ВАРІАНТ 2
1. Застосовуючи процес ортогоналізації, побудувати ортогональний базис підпростору, натягнутого на дану систему векторів
, , .
Відповідь: , ,
2. Знайти ортогональну проекцію і ортогональну складову вектора на лінійний простір .
=
Відповідь: , .
3. Знайти ортогональний базис ортогонального доповнення , якщо = і , ,
Відповідь: і . .
4. Довести, що
5. Знайти довжини векторів , якщо задано , якщо , .
Відповідь: , ,
6. Знормувати вектор .
Відповідь:
7 Індивідуальні тестові завдання
1. Нерівність Коші – Буняковського.
А)
Б)
В)
Г)
2. Знайти координати вектора у базисі
А)
Б)
В)
Г)
3. Скалярний добуток визначається формулою:
А)
Б)
В)
Г)
4.Визначити скалярний добуток векторів і
А) 5
Б) 8
В) 9
Г) 7
5.Обчислити скалярний добуток , якщо ,
А)
Б)
В)
Г)
6. Кут між двома векторами визначається:
А) ,
Б) ,
В) ,
Г)
7. Визначити кут між векторами і
А)
Б)
В)
Г)
8. Вектор називається нормованим, якщо його довжина дорівнює:
А) 3
Б) 1
В) 2
Г)
9. Знайти нормований вектор ортогональний до векторів , ,
А)
Б)
В)
Г)
10. Нормувати можна:
А) будь-який вектор
Б) лише нульовий вектор
В) будь-який ненульовий вектор
Г) вектор взагалі не можна нормувати
11. Знайти ортогональну й нормовану фундаментальну систему розв’язків для системи рівнянь
А)
Б)
В)
Г) .
12. Знайти , де , якщо :
А)
Б)
В)
Г)
13. Визначте косинус внутрішнього кута трикутника , заданого координатами вершин: ; ,
А)
Б)
В)
Г)
14. Ортогональною проекцією вектору евклідового простору натягнутого на систему векторів , , буде:
А)
Б)
В)
Г)
15. Всякий евклідовий простір можна вважати нормованим, якщо кожному вектору простору поставити у відповідність число:
А)
Б)
В)
Г)