- •1 Дійсний евклідовий простір
- •2 Ортонормований базис в евклідовому просторі
- •3 Ортогональне доповнення підпростору евклідового простору. Ізоморфізм евклідових просторів
- •4 Комплексний евклідовий простір (унітарний простір)
- •4. , Лише при .
- •5 Приклади розв’язання задач
- •Завдання для самостійного розвязування
- •7 Індивідуальні тестові завдання
1 Дійсний евклідовий простір
Лінійний простір над полем дійсних чисел називається дійсним евклідовим простором, якщо в ньому визначена операція скалярного добутку двох будь-яких векторів, тобто будь-якій парі векторів і простору ставиться у відповідність дійсне число . При цьому для будь-яких векторів простору повинні виконуватися умови (аксіоми).
1. =
2.
3. , – число
4., лише при .
Розглянемо приклади евклідових просторів.
1. Векторний простір направлених відрізків над полем дійсних чисел, в якому введений таким чином скалярний добуток двох довільних векторів і
= , , ( – кут між і ),
=0, якщо = або = ,
є дійсним евклідовим простором, оскільки виконуються всі аксіоми скалярного добутку.
2. Нехай С – множина всіх неперервних на відрізку дійсних функцій. Ця множина є лінійним простором над полем дійсних чисел. Простір стане евклідовим, якщо кожній парі функцій і із множини С поставити у відповідність число
=.
Всі вимоги, що пред'являються до скалярного добутку, виконуються.
Теорема 1.1. Для будь-яких двох векторів і дійсного евклідового простору (нерівність Коші-Буняковского).
Лінійний простір називається нормованим, якщо кожному вектору цього простору поставлено у відповідність число , яке називається нормою вектору або його довжиною. При цьому повинні виконуватися умови (аксіоми норми)
1. , причому , лише коли ;
2. – нерівність трикутника;
3. для любого числа .
Всякий евклідовий простір можна вважати нормованим, якщо кожному вектору простору поставити у відповідність число . Щоб переконатися в цьому, потрібно перевірити виконання всіх аксіом норми. Перша і третя аксіоми норми виконуються, оскільки по першій властивості скалярного добутку , причому лише при , тобто , лише коли , а по третій властивості , тобто . Аксіома трикутника також виконується. Дійсно, . Згідно нерівності Коші – Буняковского . Отже, .
По аналогії з випадком тривимірного простору направлених відрізків введемо поняття кута між двома векторами евклідового простору. Під кутом між яким – небудь ненульовими векторами і простору розуміється таке число , що , , .
Це визначення коректне, оскільки згідно з нерівністю Коші – Буняковского , тому дріб, що визначає значення по модулю менше одиниці. Отже, які б не були ненульові вектори і евклідового простору, існує єдине число , що визначає кут між векторами і .
Приклад. Нехай – евклідовий простір, елементами якого є дійсні функції, неперервні на відрізку . Скалярний добуток двох довільних елементів и простору визначимо відомим способом .
Потрібно знайти кут між елементами и .
Розв’язання:
Згідно з визначенням скалярного добутку .
На основі формули , , , отже, кут між елементами і простору дорівнює .
Два вектори і евклідового простору називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток . Суму + двох ортогональних векторів і називатимемо гіпотенузою прямокутного трикутника і .
Теорема Піфагора. Квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів довжин катетів.