4.Граничні точки множини. Замкнені множини, властивості замкнених множин.

Розглядатимемо множину точок n– вимірного евклідового простору (n∈N).Точкою простору є впорядкований набір з n-дійсних чисел.

Означ. Δ-околом точки ξ∈ наз.множина точок х∈ простору, відстань від яких до точки ξ менше Δ: ρ(х, ξ)< Δ.

Означ. Точка ξ∈ наз.граничною точкою множини Е⊂ ,якщо у будь – якому її Δ-околі міститься безліч точок множини Е.

Означ. (еквівалентне попередньому) Точка ξ∈ наз.граничною точкою множини Е, якщо в будь – якому Δ-околі цієї точки міститься хоча б одна точка множини Е, яка відмінна від ξ. Зауважимо, що гранична точка може належати множині Е, а може їй не належати.

Означ. Множина всіх граничних точок множини Е наз.похідною множиною і позначається Еꞌ.

Означ. Всі точки множини Е⊂ , які не є граничними наз.ізольованими. Отже, якщо точка ∈ Е – ізольована, то існує такий Δ-окіл точки , в якому не міститься жодної точки множини Е окрім .

Означ. Точка наз.внутрішньою точкою множини Е, якщо вона належить множині разом із деяким околом(або існує такий окіл точки , який повністю складається із точок множини Е).

Теорема(Больцано - Вейєрштрасса). Будь – яка нескінченна обмежена множина має принаймні одну граничну точку.

Замкнені множини.

Означ. Множина Е⊂ наз.замкненою, якщо всі її граничні точки належать цій множині Еꞌ ⊂ Е.

Означ. Множина, яка є об’єднанням множини Е і Еꞌ наз.замиканням множини Е і Е͞ =Е ∪Еꞌ.

Властивості.

Теорема1: Похідна множина будь – якої множини є замкненою.

Наслідок: Замикання будь – якої множини Е є множина замкнена.

Теорема2: Для будь – яких множин і похідна множина їх об’єднання ( ) ꞌ= .

Теорема3: Об’єднання скінченної кількості замкнених множин – множина замкнена.

Теорема4: Переріз довільної множини замкнених множин – множина замкнена. Якщо множина Е⊂R, то множина R\E=c E наз.доповненням.

Теорема5: Доповнення замкненої множини є множина відкрита.

Теорема6: Доповнення до відкритої множини є множина замкнена.

Наслідок: Якщо із замкненої множини вилучити відкриту – одержимо множину замкнену, якщо з відкритої множини вилучити замкнену – одержимо відкриту.

Теорема7: Об’єднання будь – якої кількості відкритих множин – множина відкрита.

Теорема8: Переріз скінченної кількості відкритих є множина відкрита.

Приклад: Е=∅ - замкнена, тому що Еꞌ ⊂ Е, з іншого боку, оскільки(-∞,+∞) – замкнена, то доповнення – відкрита . Тому Е=∅ - відкрита.

5. Відкриті множини, властивості відкритих множин.

ОЗН: Множина, всі точки якої є внутрішніми називається відкритою.

Властивості:

Т: Об’єднання кількох відкритих множин є множина відкрита.

Т: Переріз скінченої кількості відкритих множин є множина відкрита.

Т: Доповнення замкненої множини є множина відкрита.

Т: Доповнення до відкритої множини є замкнена множина. Якщо із замкненої множини вилучити відкриту, одержимо замкнену множину. Якщо у відкритої множини вилучити замкнену, отримаємо відкриту множину.

Пр.: Дійсні числа

1. R\[1,2]=C_E

E=[1,2] – замкнена множина. За теоремою 5 С_Е – відкрита множина.

2. Е=(-∞;+∞) – відкрита за означенням (кожна її точка внутрішня)

З іншого боку множина порожня (Е=Ø, Е’=Ø, Е’⊂_ЕØ)

Е’=(-∞;+∞), Е’⊂_Е замкнена. Множина Е – відкрита.

3. Е=Ø – замкнена Е’⊂Е, з іншого боку , оскільки (-∞;+∞) замкнена, то доповнення – відкрита. Тому Е=Ø – відкрита.