5.Лінійними неоднорідними диф. Рівняннями 2го порядку зі сталими коефіцієнтами

називають рівняння, що має вигляд:

у’’+py’ +qy = S(x), де p,q – сталі, S(x) - задана функція, неперервна на деякому проміжку (а; b).

Теорема про структуру загального розв’язку неоднорідного рівняння:

Загальним розв’язком рівняння у’’+py’ +qy = S(x), є сума його довільного частинного розв’язку і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння: у’’+py’ +qy = 0.

12 білет.

1,Система лінійних алгебраїчних рівнянь (слар) — в лінійній алгебрі це система лінійних рівнянь виду:

Це система m лінійних рівнянь з n невідомими, де

є невідомими,

є коефіцієнтами системи,

- вільними членами[1].

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь відіграють важливу роль у математиці, оскільки до них зводиться велика кількість задач лінійної алгебри, теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики, тощо, та областей фізики й техніки, де застосовуються ці математичні теорії.

Метод Гауса.

Ме́тод Га́уса — алгоритм розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.Початок алгоритму. Прямий хід: Шляхом елементарних перетворень рядків (додавань до рядка іншого рядка, помноженого на число, і перестановок рядків) матриця приводиться до верхньотрикутного вигляду.З цього моменту починається зворотний хід.З останнього ненульового рівняння виражаємо кожну з базисних змінних через небазисні і підставляємо в попередні рівняння. Повторюючи цю процедуру для всіх базисних змінних, отримуємо фундаментальний розв'язок.

2,Поняття границі функції

Границя функції в точці — фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони меньших аргументів (лівостороння границя). Тобто, по суті, є сенс говорити про односторонні границі функції у деякій точці тоді, коли у цій точці лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній.

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

Використовуються також наступні скорочення:

и для правої границі;

и для лівої границі.

3, Необхідною умовою існування екстремуму в точці диференційовної функції є рівність нулю її похідної: .

Достатньою умовою існування екстремуму в точці для диференційовної функції є зміна знака похідної при переході через цю точку. Так при зміні знака з “+” на “–” в точці функція має максимум, а з “–” на “+” – мінімум

4, Для знаходження інтегралів від функцій, що містять квадратний тричлен, для перетворення їх до формул інтегрування необхідно спочатку виділити повний квадрат із квадратного тричлена, в резуль-таті чого він перетвориться на квадратний двочлен.

5, МЕТОД НЕВИЗНАЧЕНИХ КОЕФІЦІЄНТІВ. Якщо права частина рівняння має вигляд f(x) = P_m(x)*e^(j*x), де P_m(x) - многочлен степеня m, то частковий розв"язок рівняння буде таким: y^~ = x^s * Q_m(x)*e^(j*x), де s = 0, якщо j не збігається з жодним коренем характеристичного рівняння; s рівне кратності l кореня характеристичного рівняння, якщо j з ним збігається. Q_m(x) - многочлен степеня m. Для визначення коефіцієнтів многочлена Q_m(x) варто формулу часткового розв"язку підставити в рівняння і прирівняти вирази при однакових функціях. Якщо f(x) = f1(x) + f2(x) +...+ fp(x), то часткове рішення складається із суми часткових рішень yi~ неоднорідних рівнянь a0*y^(n) + a1*y^(n-1) + ... + a_(n-1)*y' + an*y = fi(x), i = 1..p.

ф Білет№13

1.Метод Жордана-Гаусса. Алгоритм кроку перетворення Жордана-Гаусса.

Щоб не виконувати обернений хід метода Гауса, здійснюють повне виключення невідомих у стовпчику за допомогою розв’язального елемента.Цей метод Гаусса називають методом Жордана-Гаусса.

Алгоритм кроку перетворення Жордана-Гаусса.

1.Обираємо розв’язальний елемент аij≠0 (доцільно обирати одиницю)

2.Елементи і-го рядка ділимо на аij і записуємо в і-й рядок.

3.У розв’язальному j-ому стовпці замість аij пишуть одиницю, а замість інших елементів цього стовпця пишуть 0.

4.Усі інші елементи знаходять за формулою a_kl= (a_ij a_kl –a_kl a_ij ) /a_ij .

2.Нескінченно малі функції та їх властивости.

Функція наз. нескінченно малою при x (x ), якщо ( ).

Властивості нескінченно малих функцій

1.Алгебраїчна сума скінченого числа нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція.2. Добуток нескінченно малої функції на сталу величину або на обмежену функцію чи на іншу нескінченно малу функцію є нескінченно мала функція.3. Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю, є нескінченно мала функція.

3.Асимптоти графіка функції.

Пряма до якої нескінченно близько наближаються точки графіка функції у=f(x) при необмеженому віддаленні їх від початку координат, наз асимптотою кривої у=f(x).

Пряма x=a наз. вертикальною асимпототою кривої у=f(x), якщо хоча б одна з односторонній границь функції f(a-0) або f(a+0) дорівнює нескінченності.

Пряма у=b, де b= <∞ наз. горизонтальною асимптотою кривої.

Пряма y=kx+b, де k= наз. Похилою асимпототою кривої.