- •1 . Матриці, основні поняття
- •2 ) Різновиди рівняння площини у просторі:за трьома точками, у відрізках на осях, нормальне.
- •2)Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора. Загальне рівняння площини і його дослідження.
- •4)З означення диференціала функції випливає, що при достатньо малих і має місце наближена рівність
- •5) Диференціальні рівняння першого порядку. Основні поняття.
- •1) Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників.
- •2) Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин.
- •4) Обчислення наближеного значення функції в точці за допомогою повного диференціала.
- •5) Диференціальні рівняння з відокремлюваннями змінними.
- •1)Визначник -го порядку. Теорема Лапласа
- •2) . Різновиди рівняння прямої в просторі: канонічне, параметричні, за двома точками.
- •3) Похідні вищих порядків.
- •4) Знаходження екстремуму функції кількох змінних
- •3/Застосування правила Лопіталя у невизначеностях виду ; ; ; .
- •4. Невизначений інтеграл та його властивості.
- •5. Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають пониження порядку
- •1. Основні поняття системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n змінними. Правило Крамера
- •2.Парабола: означення, рівняння, графік
- •3. Необхідна і достатня ознаки зростання (спадання) функції
- •4.Метод безпосереднього інтегрування невизначених інтегралів
- •5. Рівняння Бернуллі.
- •Перший спосіб
- •Другий спосіб
- •3. . Екстремум ф-ції, необхідна та достатня умови існування екстремуму.
- •5.Лінійними неоднорідними диф. Рівняннями 2го порядку зі сталими коефіцієнтами
- •1,Система лінійних алгебраїчних рівнянь (слар) — в лінійній алгебрі це система лінійних рівнянь виду:
- •2,Поняття границі функції
- •3, Необхідною умовою існування екстремуму в точці диференційовної функції є рівність нулю її похідної: .
- •4.Інтегрування функцій, які містять у знаменнику квадратний тричлен.
- •5. Поняття ряду. Збіжність ряду та його сума.
- •1.Основні поняття слар. Системи лінійних однорідних рівнянь.
- •4.Метод невизначених коефіцієнтів.
- •5.Властивості збіжних рядів.
- •1.Скалярний і векторний добуток. Властивості векторного добутку.
- •2.Теорема про зв'язок між нескінченно малими і нескінченно великими функціями.
- •3.Функції двох змінних. Область визначення.
- •4.Інтегрування функцій, що містять ірраціональності.
- •5.Необхідна ознака збіжності ряду.
- •5. Питання
- •2)Якщо в деякому околі точки Хо,крім можливо самой точки Хо, виконується нерівність 0 і кожна з ф-цій та має границю в точці Хо, то .
- •3) Нехай в деякому околі точки Хо,крім можливо самой точки Хо, виконується нерівність
- •1) ,2) ,3) , Якщо .
- •4. Визначений інтеграл та його властивості.
- •5. Радикальна ознака Коші.
- •1. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку з кутовим коефіцієнтом .
- •2. Неперервність функції в точці: Застосування поняття неперервності при обчисленні границь функцій.
- •3. Градієнт функції .
- •4. Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення визначених інтегралів.
- •5. Інтегральна ознака Коші.
- •22. 1. Кут між двома прямими заданими канонічним рівнянням. Умови паралельності і перпендикулярності прямих.
- •2. Властивості функцій, неперервних у точці.
- •23. 1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
- •2. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •1. Матриці основні поняття. Різновиди матриць.
- •Задачі, які приводять до поняття похідної: задача про продуктивність праці, задача про кутовий коефіцієнт дотичної.
- •Загальна схема побудови графіка функції за допомогою похідної.
- •Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ фігур, обмежених лініями.
- •5. Степеневі ряди. Основні поняття. Теорема Абеля.
- •Дії над матрицями. Властивості дій над матрицями.
- •Означення похідної. Диференційовність та неперервність функції в точці і на проміжку.
- •5. Радіус, інтервал, область збіжності ряду.
- •Визначники квадратних матриць. Способи обчислення визначників.
- •Правила диференціювання сталої, суми, добутку, частки функцій, та наслідки з них.
- •Екстремум функції, необхідна та достатня умови існування екстремуму.
- •5. Ряд Тейлора.
- •Визначник -го порядку. Теорема Лапласа.
- •2.Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної. Поняття нормалі до графіка функції та її рівняння. Економічний зміст похідної.
- •3) Економічний зміст похідної: похідні V(X), d(X), p(X) дорівнюють маргінальній вартості, доходу та прибутку, відповідно.
- •3.Градієнт — це вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання функції z - f(X,y) у точці р0 (х0, у0):
- •4.Невласний інтеграл іі роду.
- •5.Використання рядів до наближених обчислень функцій. Алгоритм наближеного обчислення функції f (X) в точці х0
- •1.Мінори та алгебраїчні доповнення елементів.
- •2.Похідна складної та оберненої функцій.
- •3.Частинні похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних.
- •4.Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ фігур, обмежених лініями
5.Необхідна ознака збіжності ряду.
Якщо ряд збігається, то границя його загального члену при n→∞ дорівнює нулю, тобто lim(n→∞)an=0. За умови збіжності ряду (∞∑n=1) an існує скінчена границя часткових сум lim(n→∞)Sn= lim(n→∞)Sn-1 = S. Тоді виразимо an через суму його n та (n-1) членів Sn= a1+ a2+...+ a n , Sn -1= a1+ a2+...+ an -1, тоді a n = Sn - Sn -1.. Остаточно маємо lim(n→∞)an = lim(n→∞) (Sn - Sn -1) = S – S = 0. Якщо lim (n→∞) an ≠ 0 або не існує, то ряд (∞∑n=1) an розбіжний.
16 .Білет
Питання 1
Мішаний добуток. Властивості мішаного добутку.
Мішаним добутком векторів а,в,с називається скалярний добуток вектора а*b на вектор с , тобто (аb)c.
Властивості мішаного добутку:
(a*b)c=a(b*c)=abc, тобто в мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутку можна міняти місцями.
При перестановці двох векторів мішаний добуток змінює свій знак
Мішаний добуток не зміниться,якщо вектори змінювати по колу
Мішаний добуток = о, якщо хоча б один з них нульовий
Модуль мішаного добутку векторів авс дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах
Мішаний добуток векторів обчислюється за формулою abc=
Питання 2
Еквівалентні нескінченно малі величини.
Нескінченно малі та вважаються еквівалентними (в знаках ), якщо їх різниця є величиною вищого порядку, ніж кожна з нескінченно малих та :
та
Розглянемо дві еквівалентні нескітченно малі та , так що , де . Якщо наближено припустити , то - в міру зменшення обох величин - прагне до нуля не тільки абсолютна похибка цієї заміни, позначена як , але і відносна похибка, що дорівнює . Іншими словами, при достатньо малих значеннях та можна зі скільки завгодно великою відносною точністю взяти, що . На цьому базується, при наближених викладках, заміна складних нескінченно малих еквівалентними їм простими.
Друге означення еквівалентності (рівносильне першому):
Для того, щоб дві нескінченно малі та були еквівалентні, необхідно та достатньо, щоб було
Питання 3
Лінії рівня функції двох змінних
Означення. Лінією рівня функції від двох змінних z=f(x,y) називається
множина точок площин OXY таких, що f(x,y)=const=C.
Якщо змінна величина u залежить від n незалежних змінних , , ..., , то її називають функцією кількох змінних і позначають: u = f ( , , ..., ) або u = f(M), M( , , ..., ,) є Еn, , ,..., , – незалежні змінні або аргументи є рівноправними.
Криві лінії, що лежать у площині ХОУ і мають рівняння f(x;y) = c (c – const), називаються лініями рівня функції z = f (x;y).
Питання 4 Інтегрування тригонометричних функцій.
Інтегрування тригонометричних функцій.
а) Інтеграли вигляду .
Якщо принаймні одне з чисел m або n непарне додатне ціле число, то відщеплюючи від непарного степеня один множник і виражаючи за допомогою формули парний степінь, який залишився, через другу функцію приходимо до табличного інтеграла.
б) Інтеграли вигляду , , .
Для обчислення інтегралів даного вигляду застосовують тригонометричні формули:
в) Інтеграли вигляду
, де R - раціональна функція двох змінних, зводяться до інтегралів від раціональної функції нового аргумента t підстановкою . При цьому використовуються формули