2.Похідна складної та оберненої функцій.

Похідна складної фу-ї. Нехай у=f(φ(x)) - складна фу-я: y= f(u), u= φ(x). Якщо φ(x) диференційована в т. х, а фу-я f(u) диференційована в т. u= φ(x), то складна фу-я f(φ(x)) диференційована в т. х, і при цьому справедлива формула: (f(φ(x)))'= f ' (u)∙ φ' (x).

Похідна оберненої фу-ї. Нехай функція f(x) визначена на відрізку [a;b], cтрого монотонна на [a;b], неперервна на [a;b] та у точці фу-я має похідну, що не дорівнює нулю функція має похідну, що не дорівнює нулю f ' (х) ≠0.

Тоді існує обернена функція х= , та для неї у відповідній т. також існує похідна (Іншими словами, x’(y)= )

3.Частинні похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних.

Частинну похідну першого порядку по змінній від частинної похідної першого порядку по змінній називають частинною похідною другого порядку функції по змінній та і позначають:

п при , при k = m.

Теорема. Якщо функція z = f (x;y) та похідні неперервні в точці (х;у) та в деякому її околі, то в цій точці .

4.Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ фігур, обмежених лініями

Якщо на [a, b] функції і неперервні, то площа області, обмеженої знизу графіком функції , зверху - графіком функції , зліва - прямою , справа - прямою обчислюється за формулою:

Якщо на [a, b] функції і неперервні, то площа області, обмеженої зліва графіком функції , справа - графіком функції , знизу - прямою , зверху - прямою обчислюється за формулою:

5.Використання рядів до наближених обчислень визначених інтегралів.

1) розкладають підінтегральну функцію у степеневий ряд;

2) використовуючи властивість збіжного степеневого ряду в межах інтервала інтегрування, інтегрують степеневий ряд почленно і одержують рівність заданого інтеграла збіжному числовому ряду.

3) замінюючи суму ряду частковою сумою, одержують наближене значення заданого визначеного інтеграла і оцінюють величину похибки.