23. 1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Точка В(0;b) і кут однозначно визначають пряму L на площині.

y=MC+CN=BCtg +b=xtg

Позначимо k= tg і одержимо шукане рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом у = kx+b, де k- кутовий коефіцієнт прямої, - це кут між прямою і додатним напрямом осі ОХ.

Відстань від точки до прямої

Відстань від точки до прямої L дорівнює довжині перпендикуляра M M , опущеного з точки M на пряму. Складемо рівняння прямої M M як рівняння прямої, що проходить через дану точку M (x ;y ) паралельно до даного вектора n(A;B):

, звідки В( )-А(y-y )=0

2. Властивості функцій, неперервних на відрізку.

1)Якщо функція y=f(x)неперервна на відрізку [a;b]то вона обмежена на цьому відрізку,тобто існують такі числа А і В (А<В), що для всіх х [a;b],виконується нерівність А f(x) B.2)Якщо функція y=f(x)неперервна на відрізку [a;b]то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого m і найбільшого М.3) Якщо функція y=f(x)неперервна на відрізку [a;b] і знаходиться на кінцях відрізка f(а) та f(b) мають протилежні знаки, то в середині відрізка[a;b] існує хочаб одна така точка ,що тобто крива y=f(x) перетинає вісь Ох хоча б в одній точці.

3. Алгоритм дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної .

Максимум та мінімум функції кількох змінних називають екстремумами функції, а точку , де ф-ція має екстремум називають точкою екстремуму ф-ції.

Алгоритм. 1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти частинні похідні I-го порядку та .

3. Розв’язати систему та знайти критичні точки.

4.За достатніми ознаками зробити висновок про екстремум.

5. Знайти значення функції в точках екстремуму.

4. Метод інтегрування заміни змінної у визначеному інтегралі.

Має місце наступна формула заміни змінної у визначеному інтегралі , , .

5. Абсолютна та умовна збіжність рядів.

Знакозмінний ряд називають абсолютно збіжним, якщо збігається ряд , складений з абсолютних величин його членів, тобто ряд .Знакозмінний ряд називають умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд, складений з абсолютних величин його членів розбігається.

24. 1. Кут між прямими, що задані рівняннями з кутом коефіцієнтом.

Кут між прямими в просторі , заданими канонічними рівняннями, визначається кутом між напрямними векторами цих прямих:

.Звідси випливають умови паралельності і перпендикулярності.

Прямі паралельні коли: , а перпендикулярны, коли

2. Точки розриву функції першого роду, другого роду й точки усувного розриву. Геометрична ілюстрація порушення умов неперервності функції у цих точках.

Точка х0 називається точкою розриву функції y=f(x), якщо в даній точці функція є неперервною. Точка х0 називається точкою розриву першого роду,якщо в цій точці існують обидві односторонні границі,але вони різні,тобто . Точка х0 називається точкою розриву другого роду,якщо в цій точці не існує або дорівнює нескінченності хоча б одна з односторонніх границь. Точка х0 називається точкою усувного розриву функції y=f(x) ,якщо в цій точці існують обидві односторонні границі,вони рівні між собою,але не дорівнюють значенню функції в точці х0,або функція в цій точці не існує,тобто _енту.

3. Алгоритм дослідження функції на опуклість і точки перегину.

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти другу похідну .

3. Знайти критичні точки другої похідної, тобто точки, в яких або не існує.

4. Дослідити знак на інтервалах, які розбивають область визначення функції її критичні точки.

5. Зробити висновок про характер інтервалів опуклості та існування точок перегину.

6. Знайти точки перегину .

4. Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Застосувавши формулу Ньютона-Лейбница до формули інтегрування частинами, маємо

5. Функціональні ряди. Основні поняття.

Ряд , членами якого є функції , визначені в області D, nN, називається функціональним рядом. При певному значенні х= цей ряд стає відповідним числовим рядом .Якщо числовий ряд зб./розб., то точка називається точкою збіжності/розбіжності цього ряду, а множина всіх точок збіжності ряду називається областю збіжності цього функціонального ряду.Функціональний ряд називається рівномірно збіжним на множині D, якщо довільного числа існує такий номер N=N, що для всіх n>Nі для всіх хD виконується нерівність .

Білет № 25