4. Визначений інтеграл та його властивості.

Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Властивості:

1.Сталий множник можна винести за знак визначеного інтеграла.

2.Визначений інтеграл віл алгебраїчної суми скінченої кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі визначених інтегралів від кожного доданка.

3.Якщо змінити межі інтегрування то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний.

4.Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю.

5. Ознака Даламбера.

(Жан Даламбер – французький математик).

Якщо для ряду з додатними членами існує границя (D – стала Даламбера), то при

D<1 – ряд збіжний,

D>1 – ряд розбіжний,

D=1 – треба застосувати іншу ознаку.

20БІЛЕТ

1. Загальне рівняння прямої і його частинні випадки.

Якщо в рівнянні розкрити дужки і ввести позначення , то одержимо загальне рівняння прямої на площині , де - координати перпендикулярного вектора, причому одночасно.

Дослідимо це рівняння.

Якщо то рівняння або визначає пряму, паралельну осі Ох.

Якщо В=0, то пряма визначає пряму, паралельну осі Оу.

Якщо С=0, то пряма визначає пряму, що проходить через початок координат.

Якщо А=С=0, то пряма у=0 визначає вісь Ох.

Якщо В=С=0, то пряма х=0 визначає вісь Оу.

2. Перша і друга важливі границі та наслідки з них.

1) 2) наслідки ; ;

;

3. Похідна за напрямом.

Похідна функції z y напрямі вектора знаходиться за формулою:

, де

Похідна функції u = f (x,y,z) за напрямом вектора знаходиться за формулою: ,де напрямні косинуси вектора .

4. Задача, що приводить до поняття визначеного інтеграла.

Нехай функція z=f(t) описує зміну продуктивності деякого виробництва протягом часу.

Знайдемо обсяг продукції U, виробленої за проміжок часу .

Якщо продуктивність не змінюється протягом деякого часу, то f(t) – стала функція, а обсяг продукції ∆U, виробленої за проміжок часу ∆t, задається формулою ∆U=f(t)∆t.

Розіб’ємо відрізок на проміжки часу точками

Для величини обсягу продукції ∆U, виробленої за проміжок часу ∆ , маємо ∆ ∆ , де Тоді обсяг продукції за проміжок часу ∆ Значення буде точніше, якщо перейти до границі, тобто

5. Радикальна ознака Коші.

Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряда:

Якщо для числового ряда

з невід'ємними членами існує таке число d, 0 < d < 1, що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність то даний ряд збігається.

Умова радикальної ознаки рівносильно наступному:

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатнього ряду у граничній формі:

Якщо для ряду

, то

якщо l < 1 ряд збігається,

якщо l > 1 ряд розбігається.

21БІЛЕТ