5 Кореляційний аналіз випадкових величин

5.1 Мета роботи

Вивчити основні етапи кореляційного аналізу випадкових величин, навчитися застосовувати його під час статистичного аналізу даних.

5.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Попередньою вимогою для виконання роботи є засвоєння таких теоретичних знань: числові характеристики випадкових величин, коефіцієнт кореляції, статистичні гіпотези, нульова та конкуруюча гіпотези, статистичний критерій перевірки нульової гіпотези, значення критерію, що спостерігається, критична область, критичні точки, двостороння та одностороння критичні області.

5.3 Основні положення

Під час проведення кореляційного аналізу передбачається, що відомі вибірки реалізацій двох випадкових величин X та Y, тобто відомі X і Y .

Коефіцієнт кореляції є кількісною мірою лінійної залежності між двома випадковими величинами X i Y.

Аналіз діаграм розсіювання (рис.4.1) дозволяє отримати деяку попередню інформацію про характер зв'язку між випадковими величинами X і Y, тобто про позитивну кореляцію, негативну кореляцію та відсутність кореляційної залежності.

По вибірках реалізацій випадкових величин X і Y обсягів n отримують оцінку коефіцієнта кореляції відповідно до формули:

, (5.1)

де

; (5.2)

; (5.3)

; (5.4)

; (5.5)

; (5.6)

. (5.7)

Оцінка коефіцієнта кореляції є випадковою величиною. Тому потрібно перевірити гіпотезу про значущість коефіцієнта кореляції, тобто нульову гіпотезу проти альтернативної гіпотези .

За критерій перевірки нульової гіпотези приймають випадкову величину

. (5.8)

Величина t при справедливості нульової гіпотези має розподіл Стьюдента з k=n-2 ступенями свободи.

Для того, щоб при заданому рівні значущості a перевірити гіпотезу при альтернативній гіпотезі , необхідно:

1. Обчислити значення критерію, що спостерігається:

. (5.9)

2. У таблиці критичних точок розподілу Стьюдента (див. Додаток В, табл.В.2) за заданим рівнем значущості a і числом ступенів свободи k=n-2 знайти критичну точку для двосторонньої критичної області.

3. Зробити порівняння значень і :

– якщо < , то немає основ відхилити нульову гіпотезу;

– якщо > , то нульову гіпотезу відхиляють при заданому рівні значущості a.

Перевірка гіпотези про значущість коефіцієнта кореляції еквівалентна перевірці гіпотези про значущість параметра регресії , тобто є перевіркою гіпотези про відсутність лінійного зв'язку.

На завершальному етапі кореляційного аналізу необхідно дати інтерпретацію отриманим результатам і зробити висновки про характер статистичної залежності між випадковими величинами.

При цьому слід враховувати такі властивості коефіцієнта кореляції.

1. Коефіцієнт кореляції не має розмірності.

2. Величина лежить у межах від -1 до +1, тобто |1|. Значення =1 свідчить про те, що між випадковими величинами X і Y існує повна позитивна кореляція – позитивна лінійна залежність;

=-1 вказує на повну негативну лінійну залежність;

=0 не означає, що X і Y статистично незалежні, а лише вказує на відсутність лінійного зв'язку між ними.

Таким чином, відмінність коефіцієнта кореляції від нуля означає наявність лінійного стохастичного зв'язку між двома випадковими величинами X і Y тим більш тісного, чим більше за абсолютною величиною значення .

Зв'язок між оцінкою параметра регресії і оцінкою коефіцієнта кореляції має вигляд:

. (5.10)

5.4 Контрольний приклад

Вибірки випадкових величин X і Y мають такий вигляд: X={352, 373, 411, 441, 462, 490, 529, 577, 641, 692, 743} и Y={166, 153, 177, 201, 216, 208, 227, 238, 268, 268, 274}.

Середні значення вибірок дорівнюють: , .

Точкові оцінки параметрів і мають такі значення:

, .

Оцінка рівняння лінійної регресії має вигляд:

.

Оцінка коефіцієнта кореляції отримана відповідно до формули (5.1):

.

Перевіримо гіпотезу про значущість коефіцієнта кореляції, тобто нульову гіпотезу проти альтернативної гіпотези .

Значення критерію, що спостерігається, отримано за формулою (5.9) . Знайдена критична точка =2,26. Отримано, що

> , тоді нульову гіпотезу відхиляють при заданому рівні значущості a.

5.5 Порядок виконання роботи

По вибірках реалізацій випадкових величин X і Y обсягом n=30 зробити кореляційний аналіз.

Вибірка випадкової величини X має загальний вигляд для усіх варіантів і містить значення:

X={9,8; 15,4; 8,6; 7,6; 10,2; 12,6; 6,6; 10,3; 6,3; 14,8; 11,1; 10,6; 7,3; 12,2; 8,4; 12,7; 7,9; 13,0; 11,5; 13,0; 9,4; 7,2; 11,3; 10,7; 18,5; 13,0; 5,9; 9,3; 10,1; 7,1}.

Вибірки випадкової величини Y для кожного варіанта лабораторної роботи наведені в табл.A.2 (див. Додаток А).

Вивчити метод дослідження стохастичного зв'язку між випадковими величинами за допомогою кореляційного аналізу.

Виписати розрахункові формули для обчислення оцінки коефіцієнта кореляції.

За допомогою ЕОМ зробити обчислення оцінки коефіцієнта кореляції і перевірити гіпотезу про значущість коефіцієнта кореляції, тобто нульову гіпотезу при альтернативній гіпотезі .

На основі аналізу результатів проведеного кореляційного аналізу зробити висновки про наявність або відсутність стохастичної залежності між випадковими величинами X і Y.

Показати, що перевірка гіпотези про значущість коефіцієнта кореляції еквівалентна перевірці гіпотези про значущість параметра регресії .

Оформити звiт про лабораторну роботу.

5.6 Зміст звіту

Звіт має містити: мету роботи, основні розрахункові формули, результати обчислень за цими формулами, значення коефіцієнта кореляції, необхідні висновки про перевірку гіпотез про значущість коефіцієнта кореляції.

5.7 Контрольні запитання

1. Що таке коефіцієнт кореляції? Які він має властивості?

2. Які існують види кореляційної залежності?

3. За допомогою яких формул обчислюється оцінка коефіцієнта кореляції?

4. Як перевіряється гіпотеза про значущість коефіцієнта кореляції ?