Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Metod_lab_Teoriya_ymovirn_2010-ukr.DOC
Скачиваний:
5
Добавлен:
07.09.2019
Размер:
2.74 Mб
Скачать

1 Непараметричні методи оцінювання законів розподілу випадкової величини

1.1 Мета роботи

Вивчити непараметричні методи оцінювання законів розподілу випадкової величини за вибіркою, навчитися застосовувати ці методи під час аналізу статистичних даних.

1.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Попередньою вимогою для виконання роботи є засвоєння таких теоретичних знань: випадкові величини, закони розподілу неперервних випадкових величин (показниковий, рівномірний, нормальний), функція та щільність розподілу, інтервальний варіаційний ряд, гістограма і емпірична функція розподілу.

1.3 Основні положення

Непараметричний метод оцінювання закону розподілу випадкової величини полягає в оцінюванні форми розподілів за вибіркою реалізації випадкової величини без припущення, що закон розподілу є відомою функцією з точністю до параметрів. У результаті такого оцінювання одержують статистичний аналог закону розподілу випадкової величини.

Якщо обсяг вибірки досить великий ( >500), то для побудови статистичного аналогу закону розподілу випадкової величини використовується інтервальний варіаційний ряд, у якому значення реалізацій випадкової величини групуються по інтервалах.

При виборі рівних інтервалів ширина інтервалів визначається за формулою:

, (1.1)

де – розмах варіаційного ряду;

– максимальне значення реалізації випадкової величини у вибірці;

– мінімальне значення реалізації випадкової величини у вибірці;

n – обсяг вибірки;

k – число інтервалів (ціла частина знаменника, округленого у більшу сторону).

При обсязі вибірки 100£ n£ 500 число інтервалів має знаходитися в межах k=10¸30. Тоді ширина інтервалу може бути визначена за формулою:

. (1.2)

Для побудови шкали інтервалів за нижню межу першого інтервалу приймається величина

. (1.3)

Нижня межа другого інтервалу збігається з верхньою межею першого і дорівнює:

. (1.4)

Цей процес продовжується до k-го інтервалу, причому за верхню межу

останнього інтервалу приймаємо величину

. (1.5)

Визначивши шкалу інтервалів, роблять розподіл елементів вибірки (варіантів) по інтервалах, перебираючи їх у порядку запису за вибіркою.

Якщо значення варіанта співпало з межею інтервалу, то це значення відносять до інтервалу, що лежить зліва від границі, з якою він збігається (крім значення варіанта , який слід віднести до першого інтервалу).

Розподіливши варіанти по інтервалах, для кожного інтервалу визначають такі величини:

1) частоту влучення в інтервал;

2) частоту або відносну частоту влучення в інтервал, згідно з формулою:

; (1.6)

3) представник інтервалу:

. (1.7)

У результаті одержуємо інтервальний варіаційний ряд, поданий у табл.1.1

Для побудови статистичного аналогу щільності розподілу випадкової величини табл.1.1 доповнюється рядком, у якому розташовується щільність відносної частоти , яка визначається у такий спосіб:

. (1.8)

Таблиця 1.1 – Інтервальний варіаційний ряд

Номер інтервалу

1

2

...

i

...

K

Межа інтервалу

...

...

Частота влучення

в інтервал

...

..

Частоста влучення в інтервал

...

...

Представник інтервалу

...

...

Щільність відносної частоти

...

...

Для графічного зображення варіаційного ряду служить гістограма, що є рядом зімкнутих прямокутників, основою кожного з яких служить ширина інтервалу , а висота дорівнює або частоті , або частості , або щільності відносної частоти . В останньому випадку гістограма є аналогом щільності розподілу випадкової величини . Таку гістограму називають гістограмою відносних частот. На рис.1.1 подано всі три типи гістограм.

x

ni

pi*

hi

Рисунок 1.1 – Гістограми

Статистичним аналогом функції розподілу випадкової величини X є емпірична функція розподілу , визначена у такий спосіб:

. (1.9)

Емпірична функція розподілу будується за інтервальним варіаційним рядом відповідно до виразів:

……………………………………. (1.10)

Точки з координатами наносяться на графік і з'єднуються відрізками прямої. Графічне зображення емпіричної функції розподілу подано на рис.1.2.

0

Рисунок 1.2 – Емпірична функція розподілу

Аналіз виду статистичних аналогів щільності розподілу і функції розподілу випадкової величини X дозволяють висунути гіпотезу про її закон розподілу.

Основні закони розподілу неперервних випадкових величин, графіки щільності розподілу і функції розподілу, їхні аналітичні вирази і формули для обчислення основних числових характеристик наведені в дод.Б.

1.4 Контрольні приклади

Приклад 1.1 Нехай випадкова величина задана вибіркою обсягу =40 (табл. 1.2).

Таблиця 1.2 – Вибірка реалізації випадкової величини

3,18

6,42

4,87

7,49

7,16

5,58

10,44

9,16

3,85

2,42

4,83

3,47

3,62

3,94

3,03

2,29

6,79

8,59

2,07

4,58

5,27

6,09

7,95

10,76

4,49

7,16

8,89

7,49

-0,97

12,91

7,44

7,04

2,71

9,57

-0,86

8,89

9,27

5,45

6,57

7,67

Побудувати інтервальний варіаційний ряд (вибрати кількість інтервалів =8), гістограму відносних частот, емпіричну функцію розподілу, висунути гіпотезу щодо закону розподілу випадкової величини .

Розрахунок

Знайдемо мінімальне та максимальне значення реалізації випадкової величини у вибірці:

Отже, розмах варіювання дорівнює . Тоді ширина інтервалу . Знайдемо границі інтервалів та визначимо частоту , відносну частоту , щільність відносної частоти влучення елементів вибірки в -й інтервал і представників -го інтервалу.

Тоді інтервальний варіаційний ряд матиме вигляд таблиці (табл.1.3).

Таблиця 1.3 – Інтервальний варіаційний ряд

Номер -го інтервалу

-й інтервал

Частота попадання в -й інтервал:

Відносна частота попадання в -й інтервал:

Представник -го інтервалу:

Щільність відносної частоти:

1

2

0,05

-0,1025

0,0288184

2

3

0,075

1,6325

0,0432277

3

7

0,175

3,3675

0,100865

4

7

0,175

5,1025

0,100865

5

11

0,275

6,8375

0,158501

6

6

0,15

8,5725

0,0864553

7

3

0,075

10,3075

0,0432277

8

1

0,025

12,0425

0,0144092

Емпірична функція розподілу будується за інтервальним варіаційним рядом за формулою (1.10), її значення наведено в таблиці 1.4.

Таблиця 1.4 – Емпірична функція розподілу

-0,97

0,765

2,5

4,235

5,97

7,705

9,44

11,175

12,91

0

0,05

0,125

0,3

0,475

0,75

0,9

0,975

1

Гістограму відносних частот для побудованого варіаційного ряду зображено на рис. 1.3, емпіричну функцію розподілу – на рис. 1.4.

Рисунок 1.3 – Гістограма відносних частот

Рисунок 1.4 – Емпірична функція розподілу

Для того, щоб висунути гіпотезу відносно закону розподілу випадкової величини , гістограма відносних частот порівнюється з графіком щільності розподілу , графік емпіричної функції розподілу порівнюється з графіком функції розподілу (Додаток Б).

Аналіз гістограми і емпіричної функції розподілу дозволяють висунути гіпотезу про те, що задана випадкова величина має нормальний закон розподілу.

Щільність розподілу нормального закону розподілу випадкової величини X має вигляд:

. (1.11)

Ф ункція розподілу визначається формулою:

. (1.12)

Приклад 1.2

Нехай випадкова величина задана вибіркою обсягу =100 (табл. 1.5).

Таблиця 1.5 – Вибірка реалізації випадкової величини

0,59

0,36

0,99

0,23

0,10

3,46

1,56

0,43

0,33

1,27

3,54

0,95

1,76

0,24

0,20

0,07

1,32

3,54

0,27

0,78

1,78

0,56

0,10

1,85

0,48

0,14

0,63

1,00

0,33

0,17

1,14

0,33

5,52

0,58

1,23

1,10

0,18

0,26

0,74

0,90

0,56

0,29

0,33

0,05

0,92

1,74

0,19

0,23

0,24

1,18

1,22

0,85

2,69

0,75

0,02

0,34

2,75

0,09

0,37

0,97

1,46

1,97

1,55

0,02

0,40

0,92

0,70

3,58

1,32

1,50

0,39

1,43

0,72

0,08

0,96

0,20

0,87

0,80

0,89

2,26

1,04

0,62

0,32

0,32

2,10

0,92

0,67

0,28

0,78

7,03

4,04

0,32

1,64

0,25

1,06

0,72

0,34

0,14

0,03

0,39

Побудувати інтервальний варіаційний ряд (вибрати кількість інтервалів =10), гістограму відносних частот, емпіричну функцію розподілу, висунути гіпотезу щодо закону розподілу випадкової величини .

Розрахунок.

Знайдемо мінімальне та максимальне значення реалізації випадкової величини у вибірці, розмах варіювання, ширину інтервалу:

; ; .

Побудуємо інтервальний варіаційний ряд, як в прикладі 1.1, отримаємо таблицю 1.6.

Таблиця 1.6 – Інтервальний варіаційний ряд

Номер -го інтервалу

-й інтервал

Частота попадання в -й інтервал:

Відносна частота попадання в -й інтервал:

Представник -го інтервалу:

Щільність відносної частоти:

1

51

0,51

0,3705

0,727

2

27

0,27

1,0715

0,385

3

12

0,12

1,7725

0,171

4

3

0,03

2,4735

0,043

5

1

0,01

3,1745

0,014

6

4

0,04

3,8755

0,057

7

0

0

4,5765

0

8

[4,927; 5,628]

1

0.01

5,2775

0,014

9

[5,628; 6,329]

0

0

5,9785

0

10

[6,329; 7,03]

1

0,01

6,6795

0,014

Емпірична функція розподілу будується за інтервальним варіаційним рядом за формулою (1.10), її значення наведені в таблиці 1.7.

Таблиця 1.7 – Емпірична функція розподілу

0,02

0,721

1,422

2,123

2,824

3,525

4,226

4,927

5,628

6,329

7,03

0

0,51

0,78

0,90

0,93

0,94

0,98

0,98

0,99

0,99

1.0

Гістограму відносних частот для побудованого варіаційного ряду зображено на рис. 1.5, емпіричну функцію розподілу – на рис. 1.6.

Рисунок 1.5 – Гістограма відносних частот

Рисунок 1.6 – Емпірична функція розподілу

Аналіз гістограми й емпіричної функції розподілу дозволяють висунути гіпотезу про те, що задана випадкова величина має показниковий закон розподілу.

Щільність розподілу показникового закону розподілу випадкової величини X має вигляд:

. (1.13)

Функція розподілу визначається формулою:

(1.14)

Приклад 1.3

Нехай випадкова величина задана вибіркою обсягу =100 (табл. 1.8).

Таблиця 1.8 – Вибірка реалізації випадкової величини

6,44

5,88

2,26

3,65

8,16

7,11

7,30

4,82

3,83

3,54

5,11

3,08

7,79

5,60

3,13

1,82

7,34

1,66

1,16

3,78

8,12

8,89

2,78

6,97

1,68

3,01

0,52

3,32

2,52

4,89

2,22

7,50

7,68

1,35

6,10

4,41

8,88

4,74

2,97

2,59

1,54

3,08

1,81

7,80

2,41

3,18

8,02

0,82

0,72

0,18

7,49

6,50

7,20

4,28

5,27

8,01

8,52

2,93

8,16

3,58

8,63

7,18

5,18

0,99

7,09

4,10

3,37

2,18

4,68

0,91

4,35

1,35

3,95

0,73

5,85

3,85

5,75

5,44

0,58

4,85

6,23

2,51

1,42

1,26

6,58

4,32

5,23

0,27

8,49

0,22

1,85

7,08

3,80

8,30

6,50

5,72

8,84

7,57

0,64

1,86

Побудувати інтервальний варіаційний ряд (вибрати кількість інтервалів =10), гістограму відносних частот, емпіричну функцію розподілу, висунути гіпотезу щодо закону розподілу випадкової величини

Розрахунок

Знайдемо мінімальне та максимальне значення реалізації випадкової величини у вибірці, розмах варіювання, ширину інтервалу:

; ; .

Побудуємо інтервальний варіаційний ряд, як в прикладі 1.1, отримаємо таблицю 1.9.

Таблиця 1.9 – Інтервальний варіаційний ряд

Номер -го інтервалу

-й інтервал

Частота попадання в -й інтервал:

Відносна частота попадання в -й інтервал:

Представник -го інтервалу:

Щільність відносної частоти:

1

11

0,11

0,6155

0,126

2

12

0,12

1,4865

0,138

3

8

0,08

2,3575

0,092

4

12

0,12

3,2285

0,138

5

10

0,10

4,0995

0,115

6

9

0,09

4,9705

0,103

7

8

0,08

5,8415

0,092

8

[6,277; 7,148]

8

0,08

6,7125

0,092

9

[7,148; 8,019]

11

0,11

7,5835

0,126

10

[8,019; 8,89]

11

0,11

8,4545

0,126

Емпірична функція розподілу будується за інтервальним варіаційним рядом за формулою (1.10), її значення наведено в таблиці 1.10.

Таблиця 1.10 – Емпірична функція розподілу

0,18

1,051

1,922

2,793

3,664

4,535

5,406

6,277

7,148

8,019

8,89

0

0,11

0,23

0,31

0,43

0,53

0,62

0,7

0,78

0,89

1,0

Гістограму відносних частот для побудованого варіаційного ряду зображено на рис. 1.7, емпіричну функцію розподілу – на рис. 1.8.

Рисунок 1.7 – Гістограма відносних частот

Рисунок 1.8 – Емпірична функція розподілу

Аналіз гістограми відносних частот і емпіричної функції розподілу дозволяють висунути гіпотезу про те, що задана випадкова величина має рівномірний закон розподілу.

Щільність розподілу рівномірного закону розподілу випадкової величини X має вигляд:

. (1.15)

Ф ункція розподілу визначається формулою:

. (1.16)

1.5 Порядок виконання роботи

За своїм варіантом вибрати з табл.А.1 дані реалізацій випадкової величини X і сформувати вибірку обсягом n=100.

Вивчити метод непараметричного оцінювання закону розподілу випадкової величини.

Виписати розрахункові формули і побудувати інтервальний варіаційний ряд (заповнити табл.1.1).

Використовуючи ЕОМ, за інтервальним варіаційним рядом побудувати гістограму для щільності відносної частоти (рис.1.1) й емпіричну функцію розподілу (рис.1.2).

Висунути гіпотезу про закон розподілу випадкової величини X.

Навести формули щільності розподілу та функції розподілу закону розподілу, відносно якого висунута гіпотеза.

Дані для виконання роботи подано в табл.А.1.

1.6 Зміст звіту

Звіт має містити: мету роботи, основні розрахункові формули, вибірку, інтервальний варіаційний ряд, гістограму, емпіричну функцію розподілу, гіпотезу про закон розподілу заданої випадкової величини, формули щільності розподілу та функції розподілу закону розподілу, відносно якого висунута гіпотеза.

1.7 Контрольні запитання

1. У чому полягає непараметричний засіб оцінювання закону розподілу випадкової величини ?

2.Що являє собою інтервальний варіаційний ряд і для чого він служить ?

3.Які існують типи гістограм і як вони будуються ?

4.Що таке емпірична функція розподілу і як вона будується ?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]