4 Регресійний аналіз випадкових величин

4.1 Мета роботи

Вивчити основні етапи регресійного аналізу, навчитися застосовувати його під час аналізу статистичних даних.

4.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Попередньою вимогою для виконання роботи є засвоєння таких теоретичних знань: числові характеристики випадкових величин, точкові оцінки, властивості точкових оцінок, інтервальне оцінювання, статистичні гіпотези, нульова та конкуруюча гіпотези, статистичний критерій перевірки нульової гіпотези, значення критерію, що спостерігається, критична область, критичні точки, двостороння та одностороння критичні області.

4.3 Основні положення

Передбачається, що відомі вибірки реалізацій двох випадкових величин X та Y, тобто відомі X і Y .

Регресійний аналіз починається з побудови діаграми розсіювання, що є сукупністю точок на площині X0Y. Аналіз діаграми розсіювання дозволяє отримати деяку попередню інформацію про характер зв'язку між випадковими величинами X і Y. На рис.4.1 наведені три варіанти розподілу точок на діаграмі розсіювання. Перший варіант відповідає позитивному лінійному зв'язку, тому що основна маса точок укладається в еліпс, головна діагональ якого утворює позитивний кут із віссю абсцис. Другий варіант розподілу точок відповідає негативному лінійному зв'язку, третій – відсутності лінійного зв'язку.

Рисунок 4.1 – Діаграми розсіювання

Лінійне рівняння парної регресії має вигляд:

, (4.1)

де – незалежні змінні;

– залежні змінні;

– невідомі параметри (коефіцієнти) регресії;

– збудження або випадкові помилки, що являють собою незалежні, нормально розподілені випадкові величини, причому

=0, ; (4.2)

, , (4.3)

тобто , .

Основними задачами регресійного аналізу є:

– одержання точкових оцінок невідомих параметрів регресії і оцінки рівняння лінійної регресії;

– аналіз статистичних властивостей оцінок параметрів регресії ;

– перевірка статистичних гіпотез щодо цих параметрів;

– побудова довірчих інтервалів для оцінок параметрів регресії.

Оцінка рівняння лінійної регресії має вигляд:

. (4.4)

Різниця між спостереженнями та оціненими за рівнянням регресії значеннями Y при фіксованому значенні називається відхиленням :

, . (4.5)

Оцінювання параметрів регресії і здійснюється за методом найменших квадратів:

. (4.6)

Точкові оцінки параметрів і обчислюються відповідно до формул:

, (4.7)

, (4.8)

де

, (4.9)

. (4.10)

; ; (4.11)

; ; (4.12)

Оцінки параметрів регресії , що отримані за методом найменших квадратів, лінійні, незсунені та ефективні.

Математичне сподівання оцінок параметрів регресії і відповідно дорівнюють:

; (4.13)

. (4.14)

Дисперсії оцінок параметрів регресії і обчислюються відповідно до формул:

, (4.15)

; (4.16)

де – оцінка дисперсії випадкової помилки, що обчислюються за формулою:

. (4.17)

Використовуючи отримані значення дисперсій оцінок параметрів регресії і , перевіряють статистичні гіпотези про значущість цих параметрів.

Для перевірки значущості параметра висувають нульову гіпотезу при альтернативній гіпотезі . За критерій перевірки гіпотези використовують статистику

, (4.18)

яка має розподіл Стьюдента з k=n-2 ступенями свободи.

Для того, щоб при заданому рівні значущості a перевірити нульову гіпотезу при альтернативній гіпотезі , треба обчислити значення критерію, що спостерігається :

(4.19)

і за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента (див. Додаток В, табл. В.2) за заданим рівнем значущості a і числом ступенів свободи k=n-2 знайти критичну точку для двосторонньої критичної області. Якщо < – немає підстав для відхилення нульової гіпотези. Якщо > – нульову гіпотезу відхиляють при заданому рівні значущості .

Для перевірки статистичної гіпотези про значущість параметра висувається гіпотеза при альтернативній гіпотезі .