3 Перевірка статистичних гіпотез про закон розподілу випадкової величини
3.1 Мета роботи
Вивчити критерії згоди, навчитися перевіряти гіпотези про закон розподілу випадкової величини за допомогою критерію Пірсона під час аналізу статистичних даних.
3.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів
Попередньою вимогою для виконання роботи є засвоєння таких теоретичних знань: статистичні гіпотези, нульова та конкуруюча гіпотези, статистичний критерій перевірки нульової гіпотези, значення критерію, що спостерігається, критична область, критичні точки, двостороння та одностороння критичні області, критерії Пірсона, Колмогорова.
3.3 Основні положення
У загальній постановці задача перевірки статистичних гіпотез про закони розподілу випадкової величини X формулюється в такий спосіб.
За
результатами спостережень отримано
статистичну оцінку закону розподілу
випадкової величини X
у вигляді емпіричної функції розподілу
.
Формулюється статистична гіпотеза
,
яка полягає в тому, що закон розподілу
досліджуваної випадкової величини X
має вигляд
.
Для перевірки цієї статистичної гіпотези
розглядається статистика критерію U,
що характеризує міру неузгодженості
між теоретичною (запропонованою за
гіпотезою
) і емпіричною функціями
розподілу. Обравши статистику критерію,
робимо оцінку її закону розподілу і для
заданого рівня значущості
будуємо критичну область.
Якщо вибіркове значення статистики знаходиться поза критичною областю, то гіпотеза, що перевіряється, приймається, якщо ж статистика належить критичній області, то гіпотеза про закон розподілу випадкової величини X відхиляється.
При
використанні критерію Пірсона за міру
неузгодженості U
гіпотетичного й емпіричного розподілів
приймається величина
,
обчислена за такою формулою:
,
(3.1)
де k – число інтервалів;
– частота
влучення в інтервал i;
– ймовірність
влучення випадкової величини X
в інтервал i,
обчислена за гіпотетичним розподілом
із заміною невідомих параметрів розподілу
їхніми оцінками;
n – обсяг вибірки.
Для
нормального закону розподілу ймовірність
влучення випадкової величини X
в інтервал
визначається в такий засіб:
,
(3.2)
де
– функція Лапласа, значення якої наведені
в таблиці В.1.
Для показникового розподілу ймовірність влучення випадкової величини X в інтервал визначається за формулою:
,
(3.3)
а для рівномірного розподілу – за формулою:
.
(3.4)
Величина , обчислена за формулою (3.1), при n®¥ має розподіл " – квадрат" із l=k–r–1 ступенями свободи, де r – число невідомих параметрів теоретичного розподілу , визначених за вибіркою. Причому, для нормального розподілу r=2, для показникового – r=1, а для рівномірного – r=2.
Процедура перевірки статистичної гіпотези про закон розподілу зводиться до наступного.
Для
заданого рівня значущості
і
числа ступенів свободи
за табл.B.3
визначають критичну точку
,
що визначає нижню межу критичної області.
За
вибіркою, використовуючи формулу (3.1),
розраховують значення
критерію, що спостерігається.
Якщо > – гіпотеза відхиляється; якщо < – приймається, тобто вважається, що результати вибіркового обстеження не суперечать висунутій гіпотезі.
3.4 Контрольні приклади
Приклад 3.1 Даний приклад є продовженням прикладів 1.1, 2.1.
Для вибірки реалізації випадкової величини (табл. 1.2) перевірити висунуту в роботі 1 гіпотезу про нормальний закон розподілу, використовуючи критерій згоди Пірсона.
Розрахунок
Продовжуємо досліджувати випадкову величину, задану табл. 1.2. Перевіримо висунуту в завданні 1 гіпотезу про нормальний закон розподілу заданої випадкової величини, використовуючи критерії згоди Пірсона. Для цього побудуємо табл. 3.1, де значення ймовірностей влучення випадкової величини в певний інтервал обчислюються за формулою (3.2), частоти влучення в інтервал задано в табл. 1.3.
Таблиця 3.1 – Таблиця
для розрахунку
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
-0,97 |
0,765 |
|
-1,7055 |
-0,5 |
-0,456 |
0,044 |
0,032 |
2 |
0,765 |
2,5 |
-1,7055 |
-1,13362 |
-0,456 |
-0,372 |
0,084 |
0,042 |
3 |
2,5 |
4,235 |
-1,13362 |
-0,561743 |
-0,372 |
-0,213 |
0,159 |
0,067 |
4 |
4,235 |
5,97 |
-0,561743 |
0,010136 |
-0,213 |
0,004 |
0,217 |
0,324 |
5 |
5,97 |
7,705 |
0,010136 |
0,582015 |
0,004 |
0,220 |
0,216 |
0,653 |
6 |
7,705 |
9,44 |
0,582015 |
1,15389 |
0,220 |
0,376 |
0,156 |
0,009 |
7 |
9,44 |
11,175 |
1,15389 |
1,72577 |
0,376 |
0,458 |
0,082 |
0,024 |
8 |
11,175 |
12,91 |
1,72577 |
|
0,458 |
0,5 |
0,042 |
0,281 |
|
1 |
1,432 |
||||||
Сума
елементів 9-го стовпчика дає значення
критерію, що спостерігається
.
Для заданого рівня значущості
та числа ступенів свободи
за табл.B.3 визначають критичну точку
.
Оскільки
,
вважатимемо, що немає підстав відхиляти
гіпотезу про нормальний закон розподілу
генеральної сукупності, тобто результати
вибіркового обстеження не суперечать
висунутій гіпотезі про нормальний закон
розподілу випадкової величини.
Приклад 3.2. Даний приклад є продовженням прикладів 1.2, 2.2.
Для вибірки реалізації випадкової величини (таблиця 1.5) перевірити висунуту в роботі 1 гіпотезу про показниковий закон розподілу, використовуючи критерій згоди Пірсона.
Розрахунок
Продовжуємо досліджувати випадкову величину, задану табл. 1.5. Перевіримо висунуту в роботі 1 гіпотезу про показниковий закон розподілу заданої випадкової величини, використовуючи критерії згоди Пірсона. Для цього побудуємо табл. 3.3, де значення ймовірностей влучення випадкової величини в певний інтервал обчислюються за формулою (3.3).
Таблиця 3.3 – Таблиця для розрахунку
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
0,02 |
0,721 |
-0,020 |
-0,708 |
0,981 |
0,493 |
0,488 |
51 |
0,099 |
2 |
0,721 |
1,422 |
-0,708 |
-1,397 |
0,493 |
0,247 |
0,245 |
27 |
0,252 |
3 |
1,422 |
2,123 |
-1,397 |
-2,085 |
0,247 |
0,124 |
0,123 |
12 |
0,008 |
4 |
2,123 |
2,824 |
-2,085 |
-2,773 |
0,124 |
0,062 |
0,062 |
3 |
1,641 |
5 |
2,824 |
3,525 |
-2,773 |
-3,462 |
0,062 |
0,031 |
0,031 |
1 |
1,429 |
6 |
3,525 |
4,226 |
-3,462 |
-4,150 |
0,031 |
0,016 |
0,016 |
4 |
3,811 |
7 |
4,226 |
4,927 |
-4,150 |
-4,839 |
0,016 |
0,008 |
0,008 |
0 |
0,784 |
8 |
4,927 |
5,628 |
-4,839 |
-5,527 |
0,008 |
0,004 |
0,004 |
1 |
0,933 |
9 |
5,628 |
6,329 |
-5,527 |
-6,216 |
0,004 |
0,002 |
0,002 |
0 |
0,198 |
10 |
6,329 |
7,03 |
-6,216 |
-6,904 |
0,002 |
0,001 |
0,001 |
1 |
8,159 |
|
17,314 |
||||||||
Сума
елементів 10-го стовпчика дає значення
критерію, що спостерігається
.
Для заданого рівня значущості
та числа ступенів свободи
за табл.B.3 визначають критичну точку
.
Оскільки
,
вважатимемо, що гіпотеза про показниковий
закон розподілу генеральної сукупності
відхиляється при рівні значущості
.
Для рівня значущості
та числа ступенів свободи
критична точка дорівнює
.
Оскільки
,
вважатимемо, що гіпотеза про показниковий
закон розподілу генеральної сукупності
приймається при рівні значущості
.
Приклад 3.3. Даний приклад є продовженням прикладів 1.3, 2.3.
Для вибірки реалізації випадкової величини (табл. 1.8) перевірити висунуту в роботі 1 гіпотезу про рівномірний закон розподілу, використовуючи критерій згоди Пірсона.
Розрахунок
Продовжуємо досліджувати випадкову величину, задану табл. 1.8. Перевіримо висунуту в роботі 1 гіпотезу про рівномірний закон розподілу заданої випадкової величини, використовуючи критерії згоди Пірсона. Для цього побудуємо табл. 3.5, де значення ймовірностей влучення випадкової величини в певний інтервал обчислюються за формулою (3.5).
Таблиця 3.5 – Таблиця для розрахунку
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
0,18 |
1,051 |
0,1 |
11 |
0,1 |
2 |
1,051 |
1,922 |
0,1 |
12 |
0,4 |
3 |
1,922 |
2,793 |
0,1 |
8 |
0,4 |
4 |
2,793 |
3,664 |
0,1 |
12 |
0,4 |
5 |
3,664 |
4,535 |
0,1 |
10 |
0 |
6 |
4,535 |
5,406 |
0,1 |
9 |
0,1 |
7 |
5,406 |
6,277 |
0,1 |
8 |
0,4 |
8 |
6,277 |
7,148 |
0,1 |
8 |
0,4 |
9 |
7,148 |
8,019 |
0,1 |
11 |
0,1 |
10 |
8,019 |
8,89 |
0,1 |
11 |
0,1 |
|
2,4 |
||||
Сума
елементів 6-го стовпчика дає значення
критерію, що спостерігається
.
Для заданого рівня значущості
та числа ступенів свободи
за табл.B.3 визначають критичну точку
.
Оскільки
,
вважатимемо, що при рівні значущості
немає підстав відхиляти гіпотезу про
рівномірний закон розподілу генеральної
сукупності, тобто результати вибіркового
обстеження не суперечать висунутій
гіпотезі про рівномірний закон розподілу
випадкової величини.
3.5 Порядок виконання роботи
Вивчити критерій згоди Пірсона, порядок використання його при перевірці гіпотез про закон розподілу випадкової величини.
Виписати
розрахункові формули і зробити необхідні
обчислення за допомогою ЕОМ для одержання
.
Для заданого рівня значущості
=0.05
за таблицею В.3 визначити
.
Перевірити гіпотези про закон розподілу досліджуваної випадкової величини X, використовуючи критерій згоди Пірсона, і зробити висновок про можливість його застосування.
Дані для виконання роботи подано в табл.А.1.
3.6 Зміст звіту
Звіт має містити: мету роботи, гіпотезу про закон розподілу заданої випадкової величини, основні розрахункові формули, результати обчислень за цими формулами, необхідні висновки про перевірку гіпотез про закон розподілу заданої випадкової величини.
3.8 Контрольні запитання
1. У чому полягає задача статистичної перевірки гіпотез про закони розподілу випадкової величини ?
2. Яка статистика приймається за міру неузгодженості між теоретичними й емпіричними законами розподілу при використанні критерію Пірсона ?
3. Який порядок перевірки статистичних гіпотез про закон розподілу при використанні критерію Пірсона ?