- •Содержание
- •ВВеДение
- •I.Требования к оформлению контрольных работ
- •II.Формирование заданий для контрольных работ
- •Іiі. Теоретическое содержание курса «Математический анализ» введение в математический анализ. Предел, непрерывность и дифференцируемость функций.
- •Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции.
- •Тема 2. Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производных.
- •Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его приложения.
- •Тема 3 . Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложения определенных интегралов.
- •Тема 4. Числовые и степенные ряды.
- •Функции нескольких переменных
- •Тема 5. Функции нескольких переменных.
- •Кратные интегралы
- •Тема 6. Двойные и тройные интегралы.
- •КРиволинейные и поверхностные интегралы
- •Тема 7. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Іv. Решение типовых заданий введение в математический анализ. Предел, непрерывность и дифференцируемость функций.
- •Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции.
- •Задание 1.6
- •Тема 2. Дифференцирование функций одной переменной. Исследование функций с помощью производных.
- •Тема 3 . Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложения определенных интегралов.
- •Тема 4. Числовые и степенные ряды. Задание 4.1
- •Задание 4.2
- •Задание 4.3
- •Задание 4.4
- •Задание 4.5
- •Тема 5. Функции нескольких переменных.
- •Задание 5.4
- •Тема 6. Двойные и тройные интегралы.
- •Тема 7. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Введение в математический анализ. Предел, непрерывность и дифференцируемость функций.
- •Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции.
- •Задание 1.6
- •Тема 2. Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производных. Задание 2.1
- •Задание 2.2
- •Задание 2.3
- •Задание 2.4
- •Тема 3 . Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложения определенных интегралов.
- •Задание 3.2
- •Задание 3.3
- •Задание 3.4
- •Задание 3.5
- •Задание 3.6
- •Задание 3.7
- •Задание 3.8
- •Тема 4. Числовые и степенные ряды. Задание 4.1
- •Задание 4.6
- •Функции нескольких переменных
- •Тема 5. Функции нескольких переменных. Задание 5.1
- •Задание 5.2
- •Задание 5.3
- •Задание 5.4
- •Тема 6. Двойные и тройные интегралы.
- •КРиволинейные и поверхностные интегралы
- •Тема 7. Криволинейные и поверхностные интегралы. Задание 7.1
- •Задание 7.2
- •Список учебной литературы
Задание 4.2
Исследовать на условную и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд: .
Решение:
Ряд
является знакочередующимся рядом.
Для исследования его на сходимость применим признак Лейбница. Так как
1) - члены ряда по абсолютной величине убывают
и 2) => оба условия признака Лейбница выполняются, то исходный ряд сходится.
Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда . Сравним его с рядом .
– это обобщенный гармонический ряд, он сходится, так как , тогда знакочередующийся ряд является абсолютно сходящимся рядом.
Задание 4.3
Найти область сходимости степенного ряда:
Решение:
Найдем радиус сходимости R степенного ряда
Так как , , то
.
Это означает, что ряд сходится абсолютно внутри интервала и расходится вне этого интервала. Точки и требуют дополнительного исследования.
1) При ряд принимает вид . Это гармонический ряд. Известно, что этот ряд расходится.
2) При ряд принимает вид . Это ряд Лейбница, который сходится условно.
Следовательно, область сходимости исходного степенного ряда .
Задание 4.4
Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки :
Решение:
Так как ,
разложим в ряд Тейлора в окрестности точки , используя формулу:
(*)
В ряд Маклорена для cosx (формула (*)) вместо подставим , затем домножим полученное выражение на (-1) и прибавим 2,
тогда получим:
.
Задание 4.5
а) С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,0001 значения:
Решение:
Воспользуемся разложением в степенной ряд функции по формуле Маклорена
.
Так как то
Получили знакочередующийся числовой ряд. Для того чтобы вычислить значения функции с точностью необходимо, чтобы первый отбрасываемый член был меньше (из следствия признака Лейбница).
Имеем
С заданной степенью точности:
.
б) Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001.
Решение:
Воспользуемся биномиальным рядом , (*)
Преобразуем подынтегральную функцию:
Получили бином вида где а Подставляя в (*), имеем
. Поскольку уже третий член полученного ряда меньше , т.е , то с точностью до 0,001 получим
Задание 4.6
Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на промежутке :
Решение:
Так как данная функция кусочно-монотонная и ограниченная, то она разлагается в ряд Фурье.
Находим коэффициенты ряда Фурье:
Тогда ряд Фурье для данной функции примет вид
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Тема 5. Функции нескольких переменных.
Задание 5.1
Найти полный дифференциал функции .
Решение: Вычислим частные производные функции :
Полный дифференциал находим по формуле
Тогда .
Задание 5.2
Дана функция . Показать, что она удовлетворяет уравнению .
Решение: Найдем частные производные 1-го и 2-го порядков от функции :
,
, ,
Подставим их в заданное уравнение:
Следовательно, функция удовлетворяет указанному уравнению.
Задание 5.3
Даны функция , точка и вектор .
Найти:
1) в точке ,
2) производную в точке по направлению вектора .
Решение:
1) Найдем градиент функции в точке по формуле
Вычислим частные производные функции и их значения в точке .
, .
Тогда .
2)Найдем направляющие косинусы вектора :
.
(из п.1)
Подставив в формулу производной по направлению
найденные значения, получим
.