Задание 1.6

Исследовать функцию на непрерывность.

Решение:

Область определения функции (ООФ):

Данная функция непрерывна во всех точках, кроме , которая не входит в ООФ. Исследуем поведение функции в окрестности этой точки

Так как , то y=2 – горизонтальная асимптота.

Следовательно, – является точкой разрыва II рода, так как один из пределов бесконечный.

Изобразим график этой функции в окрестности точки (рис. 2).

Рис. 2

Тема 2. Дифференцирование функций одной переменной. Исследование функций с помощью производных.

Задание 2.1

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции:

Решение:

Задание 2.2

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции:

Решение:

Задание 2.3

Найти производную функции

Решение:

Для нахождения производной заданной функции применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем обе части равенства по основанию e:

Продифференцируем обе части равенства по переменной x , рассматривая y как функцию x:

,

Умножим обе части равенства на y и подставим вместо y его выражение:

В результате находим :

.

Задание 2.4

Вычислить производную , если дифференцируемая функция задана неявно равенством

Решение:

Продифференцируем левую и правую части равенства, используя правила дифференцирования и рассматривая y как функцию от x:

Найдем из полученного равенства :

_.

Задание 2.5

Вычислить производные , функции , заданной параметрическими уравнениями

Решение:

Находим производные функций и по переменной :

Искомая производная равна

Найдем вторую производную :

Задание 2.6

С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции .

1) Область определения функции:

, ;.

2)Функция общего вида и непериодическая.

3) Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью ОY:

x=0, y=1

c осью ОХ:

y=0, x=1 .

4. Интервалы знакопостоянства функции:

При

5) Асимптоты функции:

а) вертикальная:

х=-1 – точка разрыва второго рода, так как

значит х=-1 - вертикальная асимптота.

б) наклонная асимптота :

.

Следовательно, наклонных асимптот нет, график функции имеет горизонтальную асимптоту y=0 .

6) Определим интервалы возрастания и убывания функции и ее точки экстремума, для чего вычислим первую производную:

Из условия , то есть , находим стационарные точки: . К ним добавим точку разрыва функции .

Таким образом, , - критические точки.

Определим знак первой производной на каждом из полученных интервалов и отметим стрелками характер монотонности функции на диаграмме:

─

─

+

х₁=1 - точка минимума; y_min=y(1)=0,

x₂=5 - точка максимума; y_max=y(5)=

7) Определим интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба, для чего вычислим вторую производную:

Из условия , то есть , ищем точки «подозрительные» на перегиб.

Определим знак второй производной на всей числовой оси и укажем на ней интервалы выпуклости функции.

─

─

y

Вторая производная меняет знак при переходе через эти точки.

Следовательно, точки перегиба:

8) Построим график функции (рис. 3):

Рис. 3

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.