Іiі. Теоретическое содержание курса «Математический анализ» введение в математический анализ. Предел, непрерывность и дифференцируемость функций.

Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции.

Множества, операции над ними. Действительные числа. Ограниченные числовые множества. Понятие sup и inf. Числовая последовательность и ее предел. Монотонные последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число “e”. Натуральные логарифмы. Предел функции. Определение непрерывности функции в точке. Свойства функций непрерывных в точке. Разрывы функции в точке и их классификация. Теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Сравнение бесконечно малых функций. Условие эквивалентности. Замечательные пределы. Теоремы о функциях непрерывных на отрезке.

Тема 2. Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производных.

Задачи, приводящие к понятию производной. Производная, её геометрический и физический смысл. Таблица производных элементарных функций. Дифференциал функции 1-го порядка и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка. Оценка погрешности при замене приращения функции ее дифференциалом. Производная сложной и обратной функций. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Формула Маклорена. Различные формы представления остаточного члена. Использование формул Тейлора и Маклорена в приближенных вычислениях и прикладных задачах.

Исследование функции. Условия монотонности функции. Экстремум функции. Достаточные условия существования локального экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Асимптоты графика функций. Точки перегиба. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его приложения.

Тема 3 . Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложения определенных интегралов.

Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы I и II рода.

Геометрические и механические приложения определенного интеграла.

РЯДЫ.

Тема 4. Числовые и степенные ряды.

Числовые ряды. Определение суммы ряда. Понятие сходимости (расходимости) рядов. Необходимый признак сходимости. Действия с рядами. Знакоположительные ряды. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Теорема об абсолютно сходящихся рядах.

Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов: почленное дифференцирование и интегрирование. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье. Разложение периодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом. Интеграл Фурье.