Функции нескольких переменных

Тема 5. Функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции, непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных, полный дифференциал, связь с частными производными. Достаточные условия дифференцируемости. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Производные от сложных функций. Полная производная. Полный дифференциал. Инвариантность формы полного дифференциала. Неявные функции. Теорема существования. Производная неявной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Производная по направлению. Градиент. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия максимума и минимума функции нескольких переменных. Понятие условного экстремума.

Кратные интегралы

Тема 6. Двойные и тройные интегралы.

Определение двойного интеграла и его свойства. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной системе координат. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты. Приложения двойного интеграла.

Определение тройного интеграла и его свойства. Вычисление тройного интеграла в прямоугольной системе координат. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты. Приложения тройного интеграла.

КРиволинейные и поверхностные интегралы

Тема 7. Криволинейные и поверхностные интегралы.

Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого рода и их приложения (масса кривой). Определение криволинейных интегралов второго рода их основные свойства и вычисления. Приложения криволинейных интегралов второго рода. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Определение поверхностных интегралов первого и второго рода, их свойства и вычисление. Теоремы Остроградского- Гаусса и Стокса. Потенциальные и соленоидальные поля.

Іv. Решение типовых заданий введение в математический анализ. Предел, непрерывность и дифференцируемость функций.

Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции.

Задание 1.1

Вычислить предел

Решение:

В данном задании имеет место неопределенность .

Задание 1.2

Вычислить предел

Решение:

Имеем неопределенность вида . Умножим и разделим данное выражение на сопряженное :

Итак, .

Задание 1.3

Вычислить предел

Решение :

Выполним тригонометрические преобразования в числителе:

Имеем неопределенность вида . В числителе и знаменателе перейдем к эквивалентным бесконечно малым

Так как , , при , то

.

Задание 1.4

Вычислить предел

Решение :

Предел основания , а показатель степени _, т.е. имеет место неопределенность . Применим II замечательный предел

Задание 1.5

Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции:

Решение:

Условие непрерывности функции в точке :

На каждом из интервалов: функция непрерывна.

Остаётся проверить точки, лежащие на границе указанных интервалов:

1. x=0

;

;

.

Условие непрерывности выполняется, т.о. точка х=0 не является точкой разрыва функции.

2. x=2

,

.

Поскольку пределы слева и справа конечны и не равны друг другу, имеем в точке x=2 разрыв I рода (скачок – δ=1)

Изобразим график данной функции ( рис. 1).

Рис. 1