![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание
- •ВВеДение
- •I.Требования к оформлению контрольных работ
- •II.Формирование заданий для контрольных работ
- •Іiі. Теоретическое содержание курса «Математический анализ» введение в математический анализ. Предел, непрерывность и дифференцируемость функций.
- •Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции.
- •Тема 2. Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производных.
- •Неопределенный интеграл. Определенный интеграл и его приложения.
- •Тема 3 . Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложения определенных интегралов.
- •Тема 4. Числовые и степенные ряды.
- •Функции нескольких переменных
- •Тема 5. Функции нескольких переменных.
- •Кратные интегралы
- •Тема 6. Двойные и тройные интегралы.
- •КРиволинейные и поверхностные интегралы
- •Тема 7. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Іv. Решение типовых заданий введение в математический анализ. Предел, непрерывность и дифференцируемость функций.
- •Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции.
- •Задание 1.6
- •Тема 2. Дифференцирование функций одной переменной. Исследование функций с помощью производных.
- •Тема 3 . Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложения определенных интегралов.
- •Тема 4. Числовые и степенные ряды. Задание 4.1
- •Задание 4.2
- •Задание 4.3
- •Задание 4.4
- •Задание 4.5
- •Тема 5. Функции нескольких переменных.
- •Задание 5.4
- •Тема 6. Двойные и тройные интегралы.
- •Тема 7. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Введение в математический анализ. Предел, непрерывность и дифференцируемость функций.
- •Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции.
- •Задание 1.6
- •Тема 2. Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производных. Задание 2.1
- •Задание 2.2
- •Задание 2.3
- •Задание 2.4
- •Тема 3 . Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приложения определенных интегралов.
- •Задание 3.2
- •Задание 3.3
- •Задание 3.4
- •Задание 3.5
- •Задание 3.6
- •Задание 3.7
- •Задание 3.8
- •Тема 4. Числовые и степенные ряды. Задание 4.1
- •Задание 4.6
- •Функции нескольких переменных
- •Тема 5. Функции нескольких переменных. Задание 5.1
- •Задание 5.2
- •Задание 5.3
- •Задание 5.4
- •Тема 6. Двойные и тройные интегралы.
- •КРиволинейные и поверхностные интегралы
- •Тема 7. Криволинейные и поверхностные интегралы. Задание 7.1
- •Задание 7.2
- •Список учебной литературы
Задание 4.2
Исследовать на
условную и абсолютную сходимость
знакочередующийся ряд:
.
Решение:
Ряд
является знакочередующимся рядом.
Для исследования его на сходимость применим признак Лейбница. Так как
1)
-
члены ряда по абсолютной величине
убывают
и 2)
=> оба условия признака Лейбница
выполняются, то исходный ряд сходится.
Исследуем ряд,
составленный из абсолютных величин
данного ряда
.
Сравним его с рядом
.
– это обобщенный
гармонический ряд, он сходится, так
как
,
тогда знакочередующийся ряд
является абсолютно сходящимся рядом.
Задание 4.3
Найти область сходимости степенного ряда:
Решение:
Найдем радиус сходимости R степенного ряда
Так
как
,
,
то
.
Это
означает, что ряд сходится абсолютно
внутри интервала
и расходится вне этого интервала. Точки
и
требуют дополнительного исследования.
1) При
ряд принимает вид
.
Это гармонический ряд. Известно, что
этот ряд расходится.
2)
При
ряд принимает вид
.
Это ряд Лейбница, который сходится
условно.
Следовательно,
область сходимости исходного степенного
ряда
.
Задание 4.4
Разложить функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки
:
Решение:
Так как
,
разложим
в ряд Тейлора в окрестности точки
,
используя формулу:
(*)
В ряд Маклорена
для cosx
(формула (*)) вместо
подставим
,
затем домножим полученное выражение
на (-1) и прибавим 2,
тогда получим:
.
Задание 4.5
а) С помощью
разложения в ряд вычислить приближенно
с точностью 0,0001 значения:
Решение:
Воспользуемся
разложением
в степенной ряд
функции
по формуле Маклорена
.
Так как
то
Получили
знакочередующийся числовой ряд. Для
того чтобы вычислить значения функции
с точностью
необходимо, чтобы первый отбрасываемый
член был меньше
(из
следствия признака Лейбница).
Имеем
С заданной степенью точности:
.
б) Используя
разложение подынтегральной функции в
степенной ряд, вычислить определенный
интеграл
с точностью до 0,001.
Решение:
Воспользуемся
биномиальным рядом
,
(*)
Преобразуем подынтегральную функцию:
Получили бином
вида
где
а
Подставляя в (*), имеем
.
Поскольку уже третий член полученного
ряда меньше
,
т.е
,
то с точностью до 0,001
получим
Задание 4.6
Разложить в ряд
Фурье функцию
с периодом
,
заданную на промежутке
:
Решение:
Так как данная функция кусочно-монотонная и ограниченная, то она разлагается в ряд Фурье.
Находим коэффициенты ряда Фурье:
Тогда ряд Фурье для данной функции примет вид
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Тема 5. Функции нескольких переменных.
Задание 5.1
Найти полный
дифференциал
функции
.
Решение: Вычислим частные производные функции :
Полный дифференциал находим по формуле
Тогда
.
Задание 5.2
Дана функция
.
Показать, что она удовлетворяет уравнению
.
Решение: Найдем частные производные 1-го и 2-го порядков от функции :
,
,
,
Подставим их в заданное уравнение:
Следовательно, функция удовлетворяет указанному уравнению.
Задание 5.3
Даны функция
,
точка
и вектор
.
Найти:
1)
в
точке
,
2) производную в
точке
по
направлению вектора
.
Решение:
1) Найдем градиент функции в точке по формуле
Вычислим частные
производные функции и их значения в
точке
.
,
.
Тогда
.
2)Найдем направляющие
косинусы вектора
:
.
(из
п.1)
Подставив в формулу производной по направлению
найденные значения, получим
.