5.13.Планування активного експерименту.

При визначенні параметрів динамічної моделі створюється збурювання х(t) за вхідними координатами і реєструється зміна вихідних координат у(t) на інтервалі часу [0, T]. У загальному випадку ставиться серія дослідів: з одночасним збурюванням усіх ; з почерговим збурюванням однієї чи декількох вхідних координат (j = 1, 2,..., m); із збурюванням різної форми й амплітуди; при різних початкових умовах .

Необхідність у проведенні повної серії дослідів виникає при нелінійному характері рівнянь і невиконанні принципу суперпозиції. При проведенні, наприклад, дослідів тільки з одночасним збурюванням х (t) можлива взаємна компенсація окремих сигналів через внутрішні зв'язки в об'єкті, що відіб'ється на формі вихідних координат і утруднить визначення параметрів моделі.

Почергове збурювання вхідних координат дозволяє уникнути подібних утруднень, але не виявляє ефектів взаємного впливу збурень.

Так як значимість параметрів заздалегідь невідома, то при проведенні дослідів намагаються застосовувати збурювання з досить широкими частотними спектрами. Найбільше часто використовують сигнали регулярної форми: східчасту функцію, імпульс і т.п. Амплітуди також повинні варіюватися в широкому діапазоні , щоб вплив нелінійних властивостей об'єкта найбільш істотно відбилося на формі . Діапазон обмежений, з однієї сторони, правилами безпечної експлуатації об'єкта і, з іншої, рівнем перешкод, некорельованих з . Вибір різних початкових умов дозволяє більш упевнено судити про вид перехідних процесів .

Процес експериментального вивчення динамічних властивостей технологічного об'єкта можна розділити на наступні основні етапи: підготовку, планування експериментів, проведення дослідів, обробку результатів досліджень.

Робота по підготовці експерименту починається з вивчення конструкції і режимів експлуатації технологічного апарата, вибору основних вихідних і вхідних координат. При цьому використовується інформація, отримана при теоретичному вивченні процесу і складанні його структурної схеми.

При підготовці до експерименту провозиться аналіз частотних характеристик датчиків, що використовуються для вимірювання і . Бажано застосовувати датчики, передатні функції яких близькі до одиниці в області низьких частот, наприклад, при рад/с. Якщо динамічні характеристики вимагаються для розрахунку системи регулювання об'єкта, доцільно установити саме ті датчики, що будуть використовуватися в майбутній схемі автоматики.

Планування активного експерименту зводиться до вибору виду збурюючого впливу, кількості дослідів і величини амплітуди А іспитового сигналу. Іспитові сигнали поділяються на аперіодичні і періодичні. До аперіодичних сигналів відносяться:

- східчаста функція при при ;

- прямокутний імпульс при і , при ;

- прямокутна хвиля при і , при , .

Ці сигнали застосовують для зняття імпульсних перехідних функцій промислових об'єктів.

Періодичні іспитові сигнали типу синусоїди і прямокутної хвилі

при ;

при , ( )

застосовують для зняття амплітудно-фазових характеристик (АФХ).

Зняття перехідних функцій. При знятті перехідних функцій h(t) іспитовий сигнал х(t)=А вводять вручну або за допомогою виконавчого механізму. Для перевірки стаціонарності динамічних властивостей об'єкта перехідні функції знімають через визначені великі проміжки часу при дотриманні всіх початкових умов. Після цього проводиться обробка й аналіз експериментальних характеристик (графіків). Якщо графіки збігаються з допустимою точністю (для тих самих значень початкових умов), то вибирають один з них. У противному випадку за результуючу перехідну функцію приймають її усереднене значення у виді

і роблять її аналіз.

Якщо прийнята на етапі початкового аналізу модель відповідає реальному процесу, то експериментальна крива перехідного процесу являє собою графік рішення рівнянь моделі при відповідних початкових і граничних умовах. Порівнюючи аналітичне рішення, отримане на моделі при таких же умовах, з експериментальної кривої, можна визначити невідомі параметри моделі. При цьому варто враховувати, що динамічні характеристики більшості об'єктів із прийнятною точністю можна представити або у виді визначених типових ділянок, або у виді їх з'єднання.

5.14.Активна параметрична ідентифікація.

Розглянемо задачі параметричної ідентифікації, тобто задачі оптимального оцінювання невідомих параметрів регресійних моделей динамічних об'єктів, функціональний вигляд яких відомий. У виразах для критеріїв оптимальності завжди будуть входити величини, що визначають статистичні характеристики векторів оцінок невідомих параметрів регресійних моделей.

Нехай відомий функціональний вид регресійної моделі динамічного об'єкта:

.

Метою ідентифікації є знаходження оцінок елементів К-мірного вектора а. Припустимо, що за допомогою якогось методу оцінювання (максимальної правдоподібності, найменших квадратів і т.д.) знайдені оцінки елементів вектора а. Вибір методу оцінювання визначається структурою моделі. При цьому перевага повинна бути надана такому методу, що забезпечує одержання оцінок з деякими оптимальними властивостями (незміщеність, спроможність, ефективність і т.д.). Статистичні властивості вектора оцінок визначається коваріаційною матрицею

,

де М — символ математичного очікування.

Елементи і характеристики матриці С в тому чи іншому вигляді завжди присутні у виразах критеріїв оптимальної параметричної ідентифікації: дисперсія оцінки параметрів, власні числа, визначник.

А-оптимальність. Цей критерій вимагає мінімізації сліду коваріаційної матриці С, що відповідає мінімізації середньої за час дисперсії оцінок невідомих параметрів регресійної моделі. Він може бути записаний наступним чином:

.

Е - оптимальність. Вимагає мінімізації максимального власного числа матриці С:

.

D - оптимальність. Оцінки, оптимальні за цим критерієм, мають мінімальний об’єм еліпсоїда розсіювання, що відповідає мінімальній величині визначника коваріаційної матриці:

.

Критерій D - оптимальності мінімізує узагальнену дисперсію оцінок невідомих параметрів регресійної моделі.

G-оптимальність. Цей критерій зв'язаний з дисперсією оцінки поверхні відгуку, тобто прогнозуванням значень вихідної координати динамічного об'єкта за вхідною з допомогою оцінюваної регресійної моделі.

Q-оптимальність. Цей критерій так само, як і попередній, зв’язаний з дисперсією оцінки поверхні відгуку, який є поверхнею прогнозованих за регресійною моделлю значень вихідної координати динамічного об'єкта. Однак цей критерій вимагає мінімізації не максимальної дисперсії, а середньої за всіма можливими функціями , що задовольняє приведеному вище обмеженню дисперсії прогнозованих значень.