5.6. Оцінка фактичних значень коефіцієнтів на основі експериментальних даних.

Процеси в динаміці (тобто такі, що змінюються в часі) грають у промисловій технології важливу роль. До них відносяться всі періодичні процеси; етапи будь-якого процесу — пуск і зупинка; перехідні процеси, що виникають при змінах режиму роботи (через випадкові збурювання або при регулюванні технологічних процесів).

Технологічні об'єкти зі змінними в часі параметрами і (або) станами звичайно описуються системами диференціальних рівнянь. Не всі коефіцієнти таких рівнянь, як і у випадку статичних об'єктів, можуть бути визначені в ході розробки моделей, що ґрунтуються на відомих фізичних (хімічних і ін.) законах. Тому для успішного виконання досліджень, що включають математичне моделювання, необхідно оцінити фактичні значення коефіцієнтів на основі експериментальних даних.

Розглянемо цей процес стосовно до загальної схеми, показаної на мал. 4.11. Тут вхідний вплив Х (може бути вектор) надходить на об'єкт Ф і одночасно на деякий ідентифікатор: чи пристрій програми комп’ютера. Вихідний сигнал Y після об'єкта Ф також подається на ідентифікатор. У самому ідентифікаторі є модель об'єкта ( пристрій чи програма), вихідний сигнал моделі позначений . Задачею ідентифікатора є таке настроювання параметрів моделі , щоб сигнали Y і розрізнялися за деяким критерієм найменшим чином.

У системі з декількома виходами кожен вихід аналізується незалежно від інших. Отже, таку систему представляють n незалежних систем, що мають ті самі входи, і досить обмежитися вивченням системи з декількома входами й одним виходом.

Використання реально існуючих у досліджуваній системі коливань для ідентифікації її математичної моделі не завжди виявляється ефективним. У такому випадку використовуються спеціальні спробні сигнали. При цьому задача точної відповідності моделі і об'єкта Ф не ставиться, тому що промислові технологічні об'єкти завжди настільки складні, що докладно описати їх не вдається. З погляду застосування об'єктів звичайно важливі лише ті їхні властивості, що виявляються зовні, тобто у вихідному сигналі Y. Цим, зокрема, пояснюється широке використання математичних моделей, що включають тільки лінійні рівняння. Розглянемо такий підхід.

5.7. Линеаризовані динамічні моделі.

При складанні лінеаризованих рівнянь необхідно попередньо обґрунтувати їх допустимість, для чого досить, щоб і існували і були неперервні в деякому околі точки . Тоді лінійне представлення для нелінійної функції отримується розкладанням у ряд Тейлора

,

де — нелінійна складова розкладу. Вводячи відносні прирости, маємо

Опускаючи нелінійну складову , одержуємо лінійне представлення у виді

або в координатній формі

Відповідно до геометричного змісту диференціала функції коефіцієнти представляють собою тангенси дотичних до поверхні у точці . У випадку табличного чи графічного задання функції значення похідних обчислюються як відношення відповідних збільшень.

При дослідженні нелінійних динамічних систем широко застосовується метод, що базується на статистичній лінеаризації вихідних лінійних залежностей. Розглянемо ідею методу на прикладі скалярної залежності , причому функція може бути і розривною.

Нехай — дійсна випадкова величина, що допускає представлення

,

де — математичне очікування;

— центрована випадкова складова з одномірним законом розподілу .

Апроксимуємо функцію виразом

.

Коефіцієнти і є коефіцієнтами статистичної лінеаризації. Величини і залежать від виду функ­цій і , а також обраного критерію оцінки точності лінеаризації.

5.8. Ідентифікація параметрів моделей стану.

Динамічний об'єкт відрізняється від статичного тим, що його стан визначається не тільки значеннями сигналів його входів , але і власним станом у попередній момент часу . Це «пам'ять» об'єкта, що робить його інерційним (у вузькому механічному змісті) і динамічним (у широкому змісті). Дискретна модель динамічного об'єкта на стадії ідентифікації має вид

,

де — визначена на стадії структурного синтезу функція, що може бути задана як аналітично, так і алгоритмічно (остання форма задання більш поширена для складних об'єктів керування). Завдання ідентифікації полягає в тому, щоб визначити параметри моделі за спостереженнями входу і виходу об'єкта.

Спочатку розглянемо модель з одним виходом . Допустимо, об'єкт має один вхід . Вихідна інформація про функціонування об'єкта приймає вид

,

де і —значення входу і виходу об'єкта в i-й момент часу , тобто .

Якщо стан динамічного об'єкта визначається його виходом у даний і попередніх моментів часу , то такий об'єкт називають динамічним об'єктом -го порядку. Стан цього об'єкта визначається значеннями його виходу, тобто вектором

.

Тепер модель динамічного об'єкта -го порядку представляється у виді

.

де —обрана скалярна функція;

— вектор збурювання об'єкта, що зв'язує поводження об'єкта з попередніми станами середовища. Числа і характеризують структуру об'єкта і повинні бути визначені на стадії вивчення його технологічних особливостей. Параметри повинні бути такими, щоб було мінімальне сумарне нев’язання виходів моделі і об'єкта

де , визначаються спостереженнями; .

Підсумовування нев’язань виконується, починаючи з , а не з , тому що необхідно мати ряд попередніх значень і . Тепер задача ідентифікації параметрів зводиться до мінімізації функції .

Приклад. Використовуємо описаний метод для задачі ідентифікації найпростішої математичної моделі гомогенізації цементної сировини в ємкості

,

де — відносний вміст СаО в гомогенізаторі й у вихідному потоці (якщо змішування виробляється ідеально);

— відносний вміст СаО у вхідному потоці;

— відношення швидкості проходження матеріалу через гомогенізатор до ємкості гомогенізатора (константа).

Точне рішення рівняння моделі має вид

.

Оскільки експериментальні дані отримуються у деякі дискретні моменти часу, утворимо різницеве рівняння. підставляючи :

,

де — деякий момент часу;

— інтервал часу між послідовними вимірами величин і .

Експериментальні дані зведемо в табл.1. Кожна вибірка експериментальних даних складається з поточних значень , а також значень і , отриманих на один інтервал часу раніше, тобто і . Значення змінних обчислюються за допомогою різницевого рівняння. Воно оперує значеннями і , отриманими на один інтервал часу раніше поточних значень. Функція нев’язання визначається рівнянням

.

Покладаючи і , одержуємо

Система лінійних рівнянь для визначення значень коефіцієнтів і в матричній формі має вид

. =

Вирішуючи цю систему, одержуємо

Таким чином, задача ідентифікації параметрів моделі і по вимірах поточних значень входів і виходів вирішена.

Для перевірки відповідності моделі процесу скористаємося стандартним відхиленням оцінки при вибірках:

де .

Після підстановки одержуємо

.

Якщо різницеве рівняння, прийняте для моделі, приводить до недостатньої відповідності між моделлю і процесом, тобто до великої стандартної помилки, то для її зниження застосовують інші форми різницевого рівняння, виводячи їх із загального рівняння

Вище розглянуті два широко застосовуваних способи вибору кращого виду різницевого рівняння. Перший, використаний у прикладі, базується на використанні відомих характеристик процесу. Існують добре відомі форми динамічних моделей, що описують поводження багатьох процесів. Другий спосіб складається у виборі довільного числа членів у різницевому рівнянні й у визначенні відповідності між моделлю і процесом. Досягши необхідного ступеня відповідності, можна виключити члени з малими коефіцієнтами, що роблять незначний вплив на результат, і таким чином, спростити динамічну модель фізичного процесу.