14. Морфізми груп. Теорема про гомоморфізм груп. Ізоморфізм груп. Теорема Келі.

Означення. Ізоморфізмом групи на групу наз. взаємнооднозначне відображ. на , яке не порушує операції . Тобто, якщо з того, що довільним елементам відповідають відповідно елем. , то результатові операції між в групі відповідатиме результат між групи . І навпаки.

Означення. Гомоморфним відображенням групи в групу наз. таке відображ., яке зберігає операцію.

Означення. Гомоморфізм групи на свою фактор-групу наз. природнім(канонічним).

Означення. Сукупність К всіх елементів групи , які при гомоморфізмі відображ. в нейтральний елем. групи , наз. ядром гомоморфізму і позначається .

Теорема(про гомоморфізм груп). Нехай є гомоморфізмом групи на групу і – ядро цього гомоморфізму. Тоді група ізоморфна фактор-групі , тобто , причому такий ізоморфізм фактор-групи на групу , що добуток æ ізоморфізму на природній гомоморфізм æ є гомоморфізмом , тобто = æ.

Терміни сюр’єктивне, ін’єктивне та бієктивне відображ. у випадку груп замінюють відповідно: епіморфізм, мономорфізм, ізоморфізм. Ізоморф. групи самої в себе –автоморфізм.

Теорема Келі. Кожна скінченна група п-го порядку ізоморфна деякій підгрупі симетричної групи п-го степеня.

▲ Нехай – будь-яка група порядку , а – її елем.. Помножимо зліва кожен елемент групи на довільний її елемент . В результаті одержимо п добутків , кожен з яких є деяким елементом групи . Нехай , де – є одним з чисел 1,2,…, п. Всі елем. попарно різні між собою. Дійсно, при , бо, якщо , то , звідки , і, отже, . Оскільки п різними елем. вичерпується група ,то – це ті самі елем. , але, можливо, записані в іншому порядку. Звідси випливає, що, коли індексу поставимо у відповідність індекс , то дістанемо взаємнооднозначне відображ. множини 1,2,…, п самої на себе, тобто дістанемо підстановку .Елем. групи поставимо у відповідність підстановку . Тоді кожному елем. групи відповідатиме цілком визначена підстановка п-го степеня. Причому двом різним елементам і відповідатимуть різні підстановки: якщо елем. відповідає , а елем. – підстановка ,то , оскільки рівність може мати місце тільки тоді, коли . Отже, маємо взаємнооднозначне відображ. групи на підмножину групи . Доведемо, що відображ. ізоморфне. Для цього покажемо, що .Справді, нехай ; . Тоді , то ,тобто .Отже, група ізоморфно відображається на множину симетричної групи . Тому, за теоремою про ядро гомоморфізму, є підгрупою групи . Отже, група ізоморфна підгрупі групи . ▄

15. Поняття кільця, поля. Види кілець. Кільце квадратних матриць, кільце класів лишків, кільце многочленів.

Означення. Кільцем наз. непорожня множина , в якій визначено дві бінарні алгебраїчні операції – додавання і множення, причому за додаванням є абелева група – адитивна група кільця , а операція множення – асоціативна і пов’язана дистрибутивними законами з операцією додавання.

Означення. Комутативне кільце з одиницею, в якому для кожного його ненульового елемента обернений елемент наз. полем.

Означення. Підмножина кільця наз. підкільцем кільця , якщо є кільцем відносно операцій додавання та множення, визначених у кільці .

Число довгий час вважалося містичним, однак виявилося, що існують аналоги цього числа, які є абсолютно реальними об’єктами. Розглянемо множину квадратних матриць виду:

Покажемо, що ця множина матриць утворює кільце. В цій множині існує матриця О –нульовий елемент. Е – одинична матриця.

Асоціативність додавання і множення, комутативність додавання та дистрибутивність множення випливає з виконання даних властивостей квадратних матриць. Отже, Р утворює кільце. Оскільки множення матриць даного типу є комутативним, то кільце Р – комутативне.

Означення. Непорожня підмножина кільця наз. лівим(правим) ідеалом цього кільця, якщо виконуються такі умови:

1) , де ;

2) , де .

Відношення конгруентності елементів на множині деякого кільця за його ідеалом є бінарним відношенням еквівалентності. Класи еквівалентності наз. ще класами лишків кільця за ідеалом . Множину всіх класів лишків кільця за ідеалом його позначають . У цій множині алгебраїчними є операції додавання і множення класів лишків:

, .

Відносно цих операцій множина утворює кільце, яке наз. фактор-кільцем кільця за ідеалом . Фактор-кільце наз. ще кільцем класів лишків.

Нехай – довільна область цілісності з одиницею і – її підкільце з одиницею. Елемент наз. алгебраїчним над кільцем , якщо в існують такі елементи , які не всі дорівнюють нулю, що:

Елемент, який не є алгебраїчним над є трансцендентним над .

Означення. Мінімальне розширення кільця , яке містить трансцендентний над елемент х, наз. кільцем многочленів від однієї змінної над і позначається [x].

Означення. Кільцем многочленів від п змінних над областю цілісності наз. кільце многочленів від змінної над кільцем