1. Декартів добуток множин. Відношення. Властивості бінарних відношень. Відношення еквівалентності. Відношення строгого і нестрогого порядку і зв’язок між ними.

Декарті добуток

Крім звичайних множин, всі елементи яких рівноправні, розглядаємо впорядковані набори, які позначаємо (х₁, х₂,..., х_п)

Декартоивм добутком множин Х₁, Х₂,..., Х_п називають множину Х₁ Х₂ ... Х_п, яка склад. з усіх можливих наборів х, де х₁ Х₁, х₂ Х₂,..., х_п Х_п.

Якщо Х₁= Х₂=...= Х_п=Х, то Х Х ... Х= Х^п, такий добуток називається степеневим.

Відношеня.

Відношенням між елементами множин А₁, А₂,..., А_п назив. довільну підмножину R декартового добутку А₁ А₂ ... А_п якщо набір (а₁, а₂,..., а_п) , то кажемо що елементи а₁, а₂,..., а_п перебувають у відношенні R або пов’язані відношенням R.

Переважно відношення обирають не довільно а відбираючи набори елементів (а₁, а₂,..., а_п) за певною ознакою. Таке відношення називають і позначають відповідно до цієї ознаки.

Унарне відношення між елементами множини А – це довільна підмножина

Як правило утворена з елементів з певною властивістю.

Бінарні в-ня, тобто в-ня між елементами 2-ох множин А₁ і А₂ зручно позначати графами (якщо А₁ і А₂ скінченні)

Властивості бін.в-нь: ( )

• рефлективність: xRx

• антирефлективність: xRx

• симетричність: якщо xRy, то yRx

• асиметричність: якщо xRy, то yRx

• антисиметричність: якщо xRy і yRx, то x=y

• транзитивність: якщо xRy і yRz, то xRz

Бінарне в-ня “≈” назив. в-ня еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Нехай “≈” - в-ня еквівалентності. х Х – довільний елемент. Його класом еквівалентності [х] назив. множину всіх y X які перебувають з х у відношенні “≈”

[х]={ y X | y ≈ x}

Теорема Якщо 2 класи еквівалентності [х] і [y] відносно в-ня “≈” мають спільний елемент, то вони збігаються.

Доведення Нехай z [х], z [y], z ≈ x, z ≈ y. Оскільки “≈” – симетричне і транзитивне, то .

Оберемо довільний елемент одного з класів . Тому всі елементи обох класів є спільними і класи є однаковими.☻

Множину всіх класів еквівалентності відносно деякого в-ня еквівал. “≈” назив. фактор-множиною і позначаємо Х/_≈

Означення.“ ” назив. в-ням строгого порядку, якщо воно анти рефлексивне і транзитивне.

Кожне в-ня строгого порядку є асиметричним

Озн. “ ” назив. в-ням не строгого порядку якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне.

Тв.1.Якщо “ ” - в-ня строгого порядку, то “ ”=“ ” - в-ня не строгого порядку.

2.Якщо “ ” - в-ня не строгого порядку, то “ ”=“ ”\ - в-ня строгого порядку.

Дов.1 Покажемо що “ ”- рефлексивне, антисиметричне і транзитивне.

, (х,х) “ ” = “ ” – рефлексивне. Нехай х, у Х такі, що х у і у х. Припустимо що , тоді х у “ ” . Оскільки , то х у. Аналогічно у х “ ” , у х але в-ня строгого порядку – асиметричне. Тому х=у “ ” – антисиметричне. Нехай х,у Х, х у і у х. Якщо х=у то у z x z. Якщо y=z то x y x z. Якщо x , то х у z х z. Тому “ ” – транзитивне.

2. Аналогічно.Отже, для кожного в-ня строгого порядку існує єдине відповідне йому в-ня не строгого порядку, і навпаки.

2.Системи лінійних рівнянь. Сумісність, визначеність. Критерій сумісності. Системи лінійних однорідних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків. Методи Гаусса і Крамера розв’язування системи лінійних рівнянь.

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(1) відносно n невідомих .

Розв'язком системи (1) називається впорядкований набір чисел , підстановка яких замість невідомих перетворює всі рівняння системи на арифметичні тотожності. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоч би один розв'язок. Якщо не має жодного розв'язку, то вона називається несумісною.

Матриця називається основною матрицею системи (1). Числа називаються вільними членами рівнянь. Матриця

називається розширеною матрицею системи (1).

ТЕОРЕМА1.(Кронекера-Капеллі).Для того щоб система(1)була сумісною, необхідно і достатньо,щоб ранг її розширеної матриці дорівнював рангу основної матриці,тобто .

В окремому випадку, коли число рівнянь дорівнює числу невідомих і матриця невироджена, тобто , система мaє єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера:

де

Під елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь розуміють такі операції:

1. зміна нумерації невідомих системи;

1. перестановка місцями рівнянь системи;

2. додавання до одного рівняння іншого, помноженого надовільне число.

Дві сумісні системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо всі розв'язки першої системи є також розв'язками другої і, навпаки, всі розв'язки другої системи є розв'язками першої. Якщо обидві системи не сумісні, вони також називаються рівносильними.

ТЕОРЕМА 2. Внаслідок елементарних перетворень система рівнянь переходить у рівносильну систему рівнянь (з урахуванням зміни нумерації невідомих).