7.4. Число Прандтля и Нуссельта.

П

Рисунок 2.1.9

режде, чем перейти к определению числа Прандтля и объяснению его физического смысла, необходимо вспомнить определение и связь динамического и температурных пограничных слоев на поверхности ЛА.

Рис. 7.4.1- Профили скорости и температуры в пограничном слое

Динамический пограничный слой определяется как пристеночный слой в газовом потоке, обтекающем поверхность ЛА, в котором скорость изменяется от нулевой на поверхности ЛА (это называется условием прилипания на стенке) до значения скорости, составляющего V_ = 0,99u от скорости в невозмущенном набегающем потоке (δ – толщина пограничного слоя). Вышесказанное демонстрирует первый рисунок на рис. 7.4.1. Оставшиеся три рисунка описывают температурный профиль в газовом потоке, обтекающем поверхность ЛА. Очевидно, что на внешней границе пограничного слоя имеет место статическая температура газового потока Т_∞, которая при сверхзвуковом обтекании значительно меньше Т₀. Рассмотрим второй рисунок на рис. 7.4.1. Он представляет температурный пограничный слой на тонкой теплоизолированной пластине, на которой устанавливается равновесная температура, и теплообмен между потоком и поверхностью пластины прекращается. Внутри пограничного слоя температура торможения сохраняется, так как теплообмен прекратился. Вследствие трения скорость внутри пограничного слоя падает по мере приближения к поверхности, что приводит к переходу кинетической энергии потока во внутреннюю и увеличению статической температуры по уравнению (5). На поверхности в соответствии с условием прилипания скорость равна нулю, а, значит, статическая температура должна быть равна температуре торможения Т₀.

Однако, опыт показал, что поверхность, а именно бесконечно тонкая пластина никогда не нагревается в параллельном потоке газа до температуры торможения Т₀, а только до некоторой температуры Т_е (которая в некоторых источниках обозначается Т_r). Допустим стенка нагрелась вследствие трения до температуры Т₀, тогда ее температура оказывается выше температуры в потоке даже на небольшом расстоянии от стенки. Посредством явления теплопроводности в газе и в соответствии с коэффициентом теплопроводности газа  от стенки в газовый поток начнет возвращаться часть тепла. В конце концов, на бесконечно тонкой пластине устанавливается режим, при котором прекращается всякий теплообмен между потоком и пластиной. При этом пластина принимает температуру, называемую равновесной, и равную

Т_е = Т_∞ + ∛Pr u²/2С_р (11)

Формула (11) для равновесной температуры отличается от формулы (5) для температуры торможения только наличием корня третьей степени из числа Прандтля Pr. Таким образом, число Прандтля определяет соотношение между работой сил вязкости и теплом, переносимым в слоях потока посредством теплопроводности. Перейдем к определению безразмерных комплексов для числа Прандтля и Нуссельта.

Запишем уравнение баланса тепла на поверхности обтекаемой стенки, применяя известные нам ранее уравнение для коэффициента теплообмена (9), числа Стантона (8) и уравнение теплопроводности Фурье из раздела 6:

q = α (Т₀ - Т_w) = − λ = StρuС_р(Т₀ - Т_w) (12)

заменим ρu на Re

α (Т₀ - Т_w) =  = St Re С_р(Т₀ - Т_w) (13)

Разделив на выражение  из (13) получаем еще один безразмерный коэффициент теплообмена – число Нуссельта:

= St Re С_р = = Nu (14)

Если выделить из соотношения (14) его часть, содержащую уже известные безразмерные критерии подобия число Стантона, число Рейнольдса и число Нуссельта, то получается следующее выражение

St Re С_р = Nu (15)

Очевидно, что безразмерным в этом уравнении является и комплекс оставшихся размерных величин, который и есть число Прандтля

Pr = (16)

Переписанное с использованием только безразмерных критериев уравнение (15) называется аналогией Рейнольдса и демонстрирует немаловажную их связь между собой.

St Re Pr = Nu (17)

Литература

1. И.И. Юрченко, Экспериментально-аналитическая методика определения тепловых потоков на поверхности космических головных частей в полете», диссертация на соискание уч. ст. к.т.н., Москва, 2005 г, 140с.

2. В.С. Авдуевский и др., Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике, Изд. «Машиностроение», Москва, 1975 г, стр. 404-408.

3. Г. Шлихтинг, Теория пограничного слоя, Изд. «Наука», Москва, 1969г.

4. ГОСТ 24631-81, Атмосферы справочные параметры, Издание официальное, Москва, 1981 г, УДК 551.51:006.354.

5. Антохин В.М, Герасимов Ю.И., Жохов В.А., Хомутский А.А. «Тепловое воздействие сильно расширяющейся струи газа на плоскую преграду», «Известия АН СССР, Механика жидкости и газа», №4, 1981г.

6. Механика жидкости и газа, №3, 1972г.

7. Сивухин Д.В., Общий курс физики, Том II, Термодинамика и молекулярная физика, М., Издательство «Наука», 1975, 551 с. с ил.

8. Жохов В.А., Хомутский А.А. «Атлас сверхзвуковых течений свободно расширяющегося идеального газа», Труды ЦАГИ, вып. № 1224, М., 1970.

9. Антохин В.М, Жохов В.А., Хомутский А.А. «Истечение осесимметричной струи в вакуум», Труды ЦАГИ, вып. № 1107, М., 1970.