6.2. Вывод уравнения адиабатического процесса.

Адиабатическим называется термодинамический процесс, при котором изменение параметров газа происходит без подвода или отвода тепла из окружающей среды, то есть без теплообмена с окружающей средой. Часто используется понятие адиабатической оболочки, в которую мысленно помещается рассматриваемый газ, и которая исключает теплообмен с окружающей средой. К адиабатическим процессам относят обтекание газом тупого угла Прандтля-Майера, которое сопровождается расширением и ускорением газовых частиц; быстрое сжатие или расширение газа под поршнем; течения невязких газов вдоль пластины или прочих тел. Адиабатическое течение является частным случаем изоэнтропического течения.

Уравнением адиабаты называется дополнительная связь между любой парой термодинамических параметров газа (Р,V), (Р,Т), (V,Т), получаемая из уравнения первого начала термодинамики

dQ=dE+PdV (12)

при условии отсутствия подвода тепла dQ=0 ⟺ С=0.

С учетом закона Джоуля (11)

dE= С_V dT (13)

получаем

С_V dT+ PdV=0 (14)

Продифференцируем уравнение состояния Клапейрона (4)

d(PV) = dPV+PdV=RdT (15)

Выразим из (15) dT

(16)

Подставим выражение (16) в уравнение (14)

[VdP+PdV] + PdV=0 (17)

VdP = −PdV∙ (1+ ) = − PdV (18)

(19)

(20)

Введем обозначение γ = .

После интегрирования (20) получим

lnP₀ – ln P = − γ[ ln V₀ – ln V]

ln = − γ ln = ln

= =

P₀V₀^γ = PV^γ = const (21)

Уравнение (21) является уравнением адиабаты, а величина γ = является показателем адиабаты. Теплоемкости при постоянном объеме и давлении можно выразить с применением показателя адиабаты следующим образом

С_V = (22)

С_P = R (23)

6.3. Вывод уравнения для скорости звука.

Из лекций известно, что скорость распространения звука в газах описывается формулой

а = (24)

Лаплас указал, что колебания плотности и связанные с ними колебания температуры в звуковой волне происходят настолько быстро, а теплопроводность в газах настолько мала, что для таких процессов теплообмен не играет никакой роли. Разности температур в сгущениях и разрежениях в звуковой волне не успевают выравниваться, так что распространение звука можно считать адиабатическим процессом. Поэтому следует воспользоваться уравнением адиабаты (21).

Поскольку уравнение адиабаты написано для одного моля, масса которого постоянна, так как постоянно количество частиц в одном моле по закону Авогадро, можно выразить плотность через объем ρ ~1/ V . Уравнение адиабаты примет вид

= const или Р= ρ^γ const (25)

Продифференцировав (25) по ρ из (24) получаем

а = = = = (26)

Если газ содержит ν=М/m молей, где количество молей определяется ν=М/m отношением массы вещества М к молярной массе m, то уравнение (4), называемое уравнением состояния Клапейрона, примет следующий вид:

РV = ν RТ= RТ (27)

Или разделив на объем и перейдя к плотности, получаем

Р = ρ Т (28)

Подставив выражение (28) в (26) получаем окончательное выражение для скорости звука в газе

а = (29)