6.6. Физический смысл коэффициента теплопроводности и вывод формулы для его расчета.

Совершенно аналогично разделу 6.5, в котором рассмотрено явление переноса импульса или внутреннего трения, может быть рассмотрено явление теплопроводности. Это явление переноса энергии молекулами вследствие межмолекулярных столкновений. Энергия молекулы пропорциональна температуре и может быть представлена в виде ε =mс_υТ, где с_υ – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Пусть внутренняя энергия, переносимая молекулой на длине свободного пробега, аналогично импульсу, представлена в виде разложения в ряд

ε = ε₀ ± l∙ (43)

Тогда сверху вниз через площадку S в течение времени dt переносится порция энергии

dN⁺ε = 1/6 nυSdt (ε₀ + l∙ ) (44)

А снизу вверх

−dN^-ε = 1/6 nυSdt (ε₀ − l∙ ) (45)

Суммарный поток энергии через единичную площадку S составит

−dN⁺ε + dN^-ε = −1/3 nυSdt l (46)

Согласно закону Фурье, тепловой поток связан с коэффициентом теплопроводности 

q =− λ (47)

С другой стороны

q =− ∑ ε = −1/3 nυ l = −1/3 nυlс_υ (48)

Получается формула для коэффициента теплопроводности

λ = 1/3 nυlс_υ (50)

7. Основные критерии подобия в теплообмене и их физический смысл [3]

К основным безразмерным критериям подобия течения при проектировании ЛА относятся число Маха М, число Рейнольдса Re, число Прандтля Pr, число Стантона St, число Нуссельта Nu , число Кнудсена Kn.

7.1. Число Маха

Число Маха является важнейшей характеристикой потока газа, определяющей отношение скорости направленного движения потока u к скорости распространения звуковых колебаний в газе a.

М=u/a (1)

Если поток газа характеризуется числом Маха М<1, то он называется дозвуковым, если число Маха М > 1, то поток называется сверхзвуковым. Сверхзвуковое течение характеризуется свойством нераспространения возмущений вверх по потоку, а также сохранением основных параметров потока внутри области течения, ограниченной конусом Маха, имеющим полуугол, равный арксинусу отношения 1/М.

7.2. Число Рейнольдса.

Число Рейнольдса Re характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости в потоке газа.

Сила инерции F_ин, деленная на объем V запишется в виде

= = ρ = ρ = ρu (2)

Объемная сила трения F_тр определяется напряжением трения τ_xy

= = μ (3)

Отсюда число Рейнольдса Re запишется в следующем виде

Re = = ≈ ≈ (4)

7.3. Число Стантона.

Интеграл уравнения сохранения энергии для несжимаемого адиабатического течения позволяет определить несколько важных величин для дальнейшего изучения теории теплообмена. Этот интеграл носит имя интеграла Бернулли и записывается в следующем виде

С_р (Т₀ - Т_∞) = u²/2 (5),

где Т_∞ - статическая температура потока, u-скорость направленного движения потока, Т₀ это температура, которую принимает среда при скорости движения равной нулю. Эта температура носит название температуры торможения.

Величина в термодинамике С_рТ₀ называется полной энтальпией газа или его полным теплосодержанием, которая складывается из энтальпии С_рТ_∞ и кинетической энергии u²/2 в применении к потокам частиц, движущимся со скоростью u. Если мысленно представить себе единичную площадку, через которую течет поток частиц со скоростью направленного движения u, то поток полной энергии, переносимый через эту площадку в единицу времени, равен

q₀ = ρuС_рТ₀ = ρuС_рТ_∞ + ρu³/2 (6)

При высоких скоростях движения потока, характеризующихся числами Маха больше 1, можно утверждать, что С_рТ_∞≪ ρu³/2. Это имеет место при рассмотрении вопросов теплообмена при обтекании поверхности ЛА сверхзвуковым потоком, чему и посвящен весь курс «Перспективных методик расчета средств выведения». Тогда уравнение (6) можно упростить, приравняв поток полной энтальпии и поток кинетической энергии:

q₀ = ρuС_рТ₀ = ρu³/2 (7)

При обтекании направленным потоком частиц твердой стенки, например, поверхности ЛА, часть энергии потока q уходит через поверхность в конструкцию ЛА. Стантоном введен безразмерный коэффициент St, который определяет долю кинетической энергии потока (или полного теплосодержания потока), которая в процессе теплообмена переходит в поверхность ЛА. Поток тепла в конструкцию q можно определить следующим образом:

q = StρuС_р(Т₀ - Т_w) (8)

за вычетом потока теплосодержания молекул, принявших температуру стенки Т_w и вовлеченных в поток.

При проведении тепловых расчетов в проектировании ЛА применяется следующее уравнение

q = α(Т₀ - Т_w) (9)

Величина α носит название коэффициента теплообмена и является одним из основных проектных параметров. Если сопоставить уравнения (9) и (8), то можно определить связь между коэффициентом теплообмена α , измеряемого в Вт/м²∙К, и безразмерным числом Стантона St

α = StρuС_р (10)