Приклади
Знайти диференціал функції f:
а)
;
б)
,
в)
.
Розв’язання.
Для знаходження диференціала функції
використаємо формулу df(х)=
.
а)
;
б)
;
в)
.
2. Обчислити наближено:
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
Розв’язання. а) Для знаходження наближеного значення виразу використаємо формулу (4.8):
=
.
б) Використаємо формулу (4.9):
=
=
=
=5, 0012.
в) Використовуючи формулу (4.7) для наближених обчислень, одержимо:
.
Покладемо
.
Тоді
або в радіанах
.
Отже,
=
=
=
.
Будемо обчислювати
з точністю до четвертого десяткового
знаку. Оскільки
,
,
то
.
г) За формулою (4.7) маємо:
.
Тоді
.
3. Знайти похідну другого порядку функції f:
а)
;
б)
;
в)
.
Розв’язання. Знайдемо послідовно першу, а потім другу похідну:
а)
;
.
б)
;
.
в)
;
=
=
=
.
4.
Знайти похідну n-го
порядку функції
.
Розв’язання. Послідовно знаходимо:
;
;
;
;
.
Аналізуючи знайдені похідні, можна висунути припущення про те, що
.
Це припущення можна довести, використовуючи метод математичної індукції.
5.
Для функції
знайти
.
Розв’язання. Послідовно знаходимо:
;
;
;
.
Тоді за формулою (4.10) маємо:
=
.
Завдання для самостійного розв’язування
8. Знайти диференціал функції f:
а)
;
б)
;
в)
;
9. Не користуючись калькулятором, обчислити наближено:
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
10. Для заданої функції знайти похідну вказаного порядку:
а)
;
б)
;
в)
;
Відповіді:
8.
а)
;
б)
;
в)
.
9. а) 1,2; б) 2,0004; в) 0,5151; г) –0,04.
10.
а)
;
б)
;
в)
;
Заняття 13
§4.3. Основні теореми диференціального числення. Правило Лопіталя
Якщо функція y=f(x)
неперервна на відрізку [a;b],
диференційовна на інтервалі (a;b),
причому f(а)=f(b),
то існує принаймні одна точка с(a;b)
така, що
(теорема
Ролля).
Г
еометричний
зміст теореми Ролля.
Якщо функція задовольняє умови теореми
Ролля, то серед усіх дотичних до кривої
y=f(x)
існує принаймні одна, паралельна осі
Ох (рис.4.2).
Якщо функції y=f(x)
і y=(x)
неперервні на відрізку [a;b]
і диференційовні на інтервалі (a;b),
причому
,
то існує принаймні одна точка с(a;b)
така, що
(теорема
Коші).
Якщо в умові теореми Коші розглянути функцію (x)=х, то буде справедливе наступне твердження.
Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b] і диференційовна на інтервалі (a;b), то існує принаймні одна точка с(a;b) така, що
(теорема
Лагранжа).
Геометричний
зміст теореми Лагранжа.
Якщо функція y=f(x)
задовольняє умови теореми Лагранжа, то
серед усіх дотичних до кривої y=f(x)
знайдеться принаймні одна, яка паралельна
хорді АВ,
де
,
(рис.4.3). І дійсно,
,
.
Для розкриття
невизначеностей вигляду
і
використовують правило
Лопіталя.
Нехай функції f
і g
диференційовні в деякому околі точки
х0
(скінченої або нескінченно віддаленої),
крім, можливо, безпосередньо точки х0.
Якщо f
і g
при хх0
є одночасно
нескінченно малими
або нескінченно великими
,
причому існує границя
,
то існує також границя
і має місце рівність
= . (4.11)
Якщо не існує, то правило Лопіталя застосовувати не можна, хоча шукана границя може існувати.
Правило Лопіталя можна застосовувати декілька разів.
Крім розглянутих невизначеностей, зустрічаються ще такі:
0, +–(+), 00, 0, 1.
Кожну з цих невизначеностей можна звести до невизначеності або за допомогою таких перетворень:
0=
або 0=
,
+–(+)=
;
00=
;
0=
;
1=
.