Заняття 9

§3.2. Послідовність. Границя послідовності

Числову функцію y=f(x), визначену на множині натуральних чисел, називають числовою послідовністю. Позначають y_n=f(x_n), n=1, 2, … . Числа y₁, y₂, y₃, ..., y_n, ... називають членами послідовності (y₁ – перший член послідовності, y₂ – другий і т.д., y_n – n-ий або загальний член послідовності), числа 1, 2, 3, ... n називають номерами цих членів. Наприклад, y_n=n², n=1, 2, ... . Для числових послідовностей застосовують також такі позначення: (y_n), (а_n), де y_n і а_n – n-і члени послідовностей.

Способи задання послідовностей

Задати числову послідовність можна: а) за допомогою формули загального члена послідовності; б) рекурентним способом.

а) Маючи формулу загального члена послідовності, можна знайти будь-який член цієї послідовності. Наприклад, якщо (а_n)= , то а₅= , а₁₀₀= .

б) Рекурентний спосіб полягає в тому, що задають перший (або кілька перших членів) послідовності і зазначають формулу для обчислення наступних членів послідовності за заданими попередніми. Наприклад, послідовність чисел Фібоначчі задають першими двома членами і рекурентним співвідношенням: а₁=0, а₂=1, а_n+2=а_n+а_n+1, nN. Надаючи n послідовно значення 1, 2, 3, …, одержуємо таку послідовність: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Обмежені послідовності. Послідовність (а_n) називають обмеженою знизу (зверху), якщо існує таке число m (M), що для всіх nN виконується нерівність а_n≥m (а_n≤M).

Послідовність (а_n) називають обмеженою, якщо вона обмежена і знизу, і зверху, тобто існують такі числа m і M, що для всіх nN виконується нерівність m≤а_n≤M.

Наприклад, послідовність (а_n)= обмежена знизу, але необмежена зверху ( nN); послідовність (b_n)= обмежена зверху, але необмежена знизу ( nN); послідовність (с_n)= обмежена, бо nN.

Монотонні послідовності. Послідовність (а_n) називають зростаючою, спадною, незростаючою, неспадною, якщо для всіх nN (для всіх ) виконуються відповідно нерівності:

а_n+1>а_n, а_n+1<а_n, а_n+1≤а_n, а_n+1≥а_n.

Зростаючі і спадні, незростаючі і неспадні послідовності називають монотонними.

Наприклад, послідовність – зростаюча; послідовність (b_n)= – спадна; послідовність: 1; 1; 2; 2; 3; 3; … – неспадна.

Границя послідовності. Скінченне число а називають границею послідовності (y_n), якщо для будь-якого >0 існує номер n₀ (що залежить від ) такий, що для всіх n>n₀ виконується нерівність y_n–а<. При цьому позначають або y_nа (n).

Суть поняття границі послідовності: число а є границею послідовності (y_n), якщо її члени як завгодно мало відрізняються від а (майже дорівнюють числу а) при досить великих номерах n цих членів, тобто y_nа, коли n.

Околом скінченної точки a називають будь-який інтервал, що містить цю точку. Наприклад, для точки х₀=2 околами є інтервали: (–5;3), (0;4), (–;6). Околом плюс (мінус) нескінченно віддаленої точки називають інтервал (b; +) ((–; b)), де b – довільне дійсне число. Наприклад, (–10;+) – окіл плюс нескінченно віддаленої точки, (–; –3) – окіл мінус нескінченно віддаленої точки.

Число а називають границею послідовності (y_n), якщо в будь-якому околі точки а міститься нескінчена кількість членів послідовності (y_n), а за межами кожного околу знаходиться не більше, ніж скінченна їх кількість. Це є означення границі послідовності мовою околів. (Під поняттям не більше, ніж скінченна кількість членів розуміють скінченну кількість членів або жодного члена). В означенні границі послідовності мовою околів число а може бути як скінченним, так і нескінченно віддаленим.

Послідовність називають збіжною, якщо її границею є скінченне число. Послідовність, яка не є збіжною, називають розбіжною. Розбіжні послідовності включають в себе послідовності, що мають нескінченну границю, і послідовності, що не мають границі. Співвідношення між названими класами послідовностей виражає наведена схема.

Послідовність називають нескінченно малою, якщо її границя дорівнює 0. Послідовність називають нескінченно великою, якщо її границя дорівнює – або +.

Послідовність (y_n) (y_n0 nN) є нескінченно малою тоді і тільки тоді, коли послідовність нескінченно велика (властивість про зв’язок нескінченно малої і нескінченно великої послідовностей).

Якщо послідовність має границю, то така границя єдина.

Теорема Вейєрштрасса. Якщо послідовність монотонна, то вона має границю (скінченну або нескінченно віддалену). Зокрема, якщо монотонна послідовність є обмеженою, то вона збіжна.

Відомо, що послідовність є монотонною й обмеженою. Тому за теоремою Вейєрштрасса ця послідовність є збіжною. Границю цієї послідовності позначають e, тобто e= .

Число е – ірраціональне, e2,718.

Логарифм числа b>0 за основою e називають натуральним логарифмом і позначають .