Заняття 7 аналітична геометрія в просторі § 1. Прямокутна система координат в просторі

Прямокутна система координат в просторі визначається трьома взаємно перпендикулярними осями , що перетинаються в одній точці і однакову масштабну одиницю. Точка називається початком координат, – віссю абсцис, – віссю ординат, – віссю аплікат.

Будь-яка точка простору характеризується єдиним вектором . І навпаки будь-яка трійка чисел (будь-який вектор) визначає на площині єдину точку. Така трійка чисел називається координатами точки . Перше число називається абсцисою, друге – ординатою, а третє – аплікатою точки. Початок координат має координати .

Рис 1

§ 2. Площина у просторі

Запишемо найпоширеніші види рівнянь площини в просторі.

Загальне рівняння площини перпендикулярна вектору .

, (20)

де довільні дійсні числа, такі що . Коефіцієнти визначають вектор нормалі площини , який перпендикулярний площині.

Рис 2

Рівняння площини, що проходить через задану точку і перпендикулярна вектору .

. (21)

Рівняння площини, що проходить через задану точку і паралельна двом неколінеарним векторам і .

. (22)

Рівняння площини, що проходить через три точки , , .

. (23)

Рівняння площини, "у відрізках на осях"

. (24)

Неповні рівняння площини.

1. Площина проходить через початок координат.

2. Площина паралельна осі .

3. Площина паралельна осі .

4. Площина паралельна осі .

5. Площина паралельно осям та , або перпендикулярна осі та перетинає її в точці .

6. Площина паралельно осям та , або перпендикулярна осі та перетинає її в точці .

7. Площина паралельно осям та , або перпендикулярна осі та перетинає її в точці .

Взаємне розміщення двох площин

Нехай площини задані загальним рівнянням:

: ; ;

: ; .

Якщо , то дві площини співпадають.

Умови паралельності двох площин: Дві площини паралельні тоді і тільки тоді, коли паралельні їхні нормалі :

. (25)

Умови перпендикулярності двох площин: Дві площини перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли перпендикулярні їхні нормалі :

. (26)

Рис 3

Кут між площинами визначається кутом між нормалями :

. (27)

Відстань від точки до площини становить

. (28)

Приклади.

1. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора та знайти кут між нею та площиною .

Розв'язання. За формулою (20) рівняння площини має вигляд:

.

Вектор нормалі цієї площини – . Вектор нормалі заданої площини – . Косинус кута між цими двома площинами знайдемо за формулою (27):

.

2. Написати рівняння площини, що проходить через три точки , , та знайти відстань від точки до цієї площини.

Розв'язання. Скористаємось формулою:

.

Відстань від точки до площини знайдемо за формулою ( )

.

3. Написати рівняння площини, що проходить через точку та а) перпендикулярна осям , , ; б) паралельна осі та проходить через початок координат.

Розв'язання. а) Скористаємось неповними рівняннями площин. Якщо площина перпендикулярна осі , то її рівняння має вигляд . Враховуючи, що пряма проходить через точку остаточно отримаємо . Аналогічно рівняння визначає площину, яка проходить через точку перпендикулярно осі , а рівняння – площину, яка проходить через точку перпендикулярно осі .

б) Рівняння площини, яка паралельна осі – . Оскільки ця пряма ще й проходить через початок координат та через точку , то і . Розв'язком цього рівняння може бути , . Отже рівняння площини, що задовольняє умовам задачі має вигляд .