Заняття 8 Модуль ііі. Вступ до математичного аналізу

§3.1. Функції та їх основні властивості. Елементарні функції

Нехай задано множини Х і Y. Якщо кожному елементу хХ за певним законом поставлено у відповідність єдиний елемент yY, то кажуть, що на множині Х задана (визначена) функція, і записують y=f(x), хХ. При цьому елемент х називають аргументом функції f, а елемент y – значенням функції f в точці х.

Множину Х називають областю визначення функції f і позначають D(f), а множину всіх елементів yY, для яких y=f(x), хХ, – множиною значень функції f і позначають Е(f).

Якщо елементами множин Х і Y є дійсні числа, то функцію f називають числовою. Надалі розглядатимемо лише числові функції.

Графіком функції y=f(x) називають множину точок (x; f(x)) площини XOY, де хD(f).

Основні способи задання функції:

аналітичний (за допомогою однієї або кількох формул);
графічний (за допомогою лінії, що є графіком функції);
табличний (за допомогою таблиці, в якій зазначено певні значення аргументу та відповідні значення функції).

Іноді функцію задають за допомогою формули і не вказують її область визначення. У цьому випадку під областю визначення функції розуміють множину всіх значень аргументу, при яких задана формула має зміст.

Складена функція. Нехай функція y=f(t) визначена на множині Е, а функція t=g(x) на множині Е₁, причому для кожного значення хЕ₁ відповідне значення g(x)=t належить множині Е. Тоді на множині Е₁ визначена функція , яку називають складеною функцією від змінної х, або суперпозицією (композицією) функцій f і g. При цьому функцію f називають зовнішньою, а g – внутрішньою функцією складеної функції . Наприклад, функція y=sin t визначена на множині R усіх дійсних чисел, а функція визначена на інтервалі . Тоді суперпозиція цих функцій є складена функція від х, визначена на інтервалі .

Обернена функція. Нехай задано функцію y=f(x), причому будь-яким двом різним елементам x₁, x₂D(f) функція f ставить у відповідність два різних елементи y₁, y₂E(f). Тоді можна говорити про функцію, яка кожному елементу yE(f) ставить у відповідність єдиний елемент xD(f). Таку функцію називають оберненою до функції f і позначають f ^–1. Зауважимо, що не для всіх функцій існують обернені. Наприклад, для функції , хR обернена функція не існує, бо різним значенням x₁ і x₂ можуть відповідати однакові значення y₁ і y₂ (y₁=y₂). Так, якщо x₁=2, x₂=–2 (x₁x₂), то y₁=y₂=4. Однак, якщо розглянути функцію , х[0;+), то для неї існує обернена функція, яка визначається формулою .

Для того щоб знайти функцію, обернену до функції y=f(x), потрібно розв’язати рівняння y=f(x) відносно х і поміняти місцями х і y.

Властивості функцій

Парні (непарні) функції. Функцію y=f(x) називають парною (непарною), якщо для будь-якого хD(f) виконуються умови: 1) (–х)D(f); 2) ( ). Перша умова означає, що область визначення парної (непарної) функції є множиною, симетричною відносно точки х=0.

Наприклад, функція є парною, а функція – непарною. Справді, область визначення кожної з них (це множина R усіх дійсних чисел) симетрична відносно точки х=0 і для будь-якого х виконуються рівності: