Заняття 15 Модуль 5. Функції багатьох змінних

§5.1. Поняття функції багатьох змінних. Область її визначення. Графік та лінії рівнів.

Сукупність всеможливих упорядкованих наборів (точок) , відстань між якими визначається за формулою

( 1)

називають - вимірним евклідовим простором Позначають цей простір .

Функцією багатьох дійсних змінних називають закон, який кожній точці множини ставить у відповідність єдине дійсне число . При цьому записують: , або , . Множину називають областю визначення функції багатьох змінних.

Якщо функцію задано аналітично (за допомогою формул) і явно не вказано область визначення, то під областю визначення розуміють множину всіх тих точок , при яких відповідні формули мають зміст.

Графіком функції з областю визначення називають множину всіх точок , де .

У випадку функції двох дійсних змінних, за традицією, аргументи позначають літерами та , а функцію –– літерою : . Графіком функції двох змінних є деяка поверхня проекція якої на співпадає з множиною .

Лінія рівня – це лінія перетину поверхні, яка визначається функцією , з площиною .

Приклади.

1. Знайти область визначення функції:

а) ;

б) .

Розв’язання.

а) Область визначення складається з тих точок площини, координати яких задовольняють умовам:

Спочатку знайдемо область на площині, кожна точка якої задовольняє нерівності . Для цього спочатку розглянемо рівність , яка визначає коло з центром в початку координат (0, 0) та радіусом R=3. Це коло розбиває всю площину на дві частини: внутрішність кола та зовнішність кола. Для координат всіх точок кола і тільки для таких точок буде виконуватись рівність. Якщо точка не лежатиме на колі, то для її координат буде виконуватись нерівність.

Для всіх точок внутрішності кола буде виконуватись одна і та ж нерівність, а для всіх точок зовнішності кола буде виконуватись також одна і та ж нерівність але протилежна до попереднього випадку. Щоб встановити яка ж нерівність виконується для точок внутрішності кола слід перевірити виконання нерівності лише для однієї точки, наприклад (0, 0). Підставивши ці координати у ліву частину нерівності, дістанемо 0<9. Отже для усіх точок внутрішності кола буде виконуватись нерівність “<”, а для усіх точок зовнішності кола буде виконуватись протилежна нерівність “>”. Отже для нашої нерівності вибираємо внутрішність кола.

Нерівність вже буде визначати зовнішність кола з центром в початку координат (0, 0) та радіусом R=1. Отже, область визначення співпадає з частиною площини, яка лежить між колами (включаючи саме коло) і (не включаючи коло).

б) Областю визначення є множина всіх точок простору, координати яких задовольняють умові . Область визначення співпадає з внутрішністю кулі радіуса 4, центр якої розташований у початку координат.

2. Охарактеризувати графіки наступних функцій:

а) ;

б) .

Розв’язання. а) Оскільки рівняння є рівнянням площини і є рівносильним рівнянню , то графіком функції є площина.

б) Очевидно, що . При рівняння рівносильне рівнянню або , яке є рівнянням сфери з центром у початку координат і радіусом 1. Отже, графіком функції є частина сфери , яка лежить в площині та вище неї.

3. Дослідити лінії рівня функції . Побудувати їх.

Розв’язання. Лінії рівня мають вид .

При маємо та лінія рівня розпадається на пару прямих, які перетинаються (вісь ), (вісь ).

При лінія рівня є гіперболою , вітки якої лежать в І та ІІІ чвертях.

П ри лінія рівня є гіперболою , вітки якої лежать в ІІ та ІV чвертях.

Проведений аналіз дозволяє стверджувати, що графіком даної функції є гіперболічний параболоїд (оскільки серед поверхонь другого порядку такі лінії рівня має тільки гіперболічний параболоїд). Схематично лінії рівня зображені на рис.

Завдання для самостійного розв’язування

1. Виразити суму прибутку, яку отримає вкладник за 2 роки як функцію від початкового внеску і відсоткової ставки при умові нарахування складних відсотків.

2. Знайти і зобразити області визначення наступних функцій:

1) а) ; б) ;

2) а) ; б) ;

3) а) ; б) ;

3. Охараткеризувати графіки наступних функцій:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5)

4. Дослідити лінії рівня наступних функцій. Побудувати лінії рівня для трьох значень параметра .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .