2. Гіперболоїд з однією порожниною.

Гіперболоїдом з однією порожниною називають поверхню, яка в декартовій системі координат визначається рівнянням

.

Для встановлення форми поверхні здійснимо перетин її з координатними площинами Oyz (це поверхня x=0) та Oxz (це поверхня y=0). Дістанемо відповідні рівняння

Рис. 10.

.

Ці рівняння у відповідних площинах визначають гіперболи.

В координатній площині Oxy (це поверхня z=0) перетином буде еліпс:

Тепер розглянемо перетини з поверхнею площинами z=h. Підставивши це значення у рівняння гіперболоїда дістанемо

_{, або , ,.}

У цьому випадку величина h може приймати будь-яке значення.

Перетином площинами z=h є еліпси, велика та мала півосі яких нескінченно зростає при нескінченному зростанні величини h. Таким чином, розглянуті перетини дозволяють зобразити одно порожнинний гіперболоїд у вигляді нескінченної трубки, яка нескінченно розширюється по осі Oz, як вгору, так і вниз. (Рис. 10).

3. Гіперболоїд з двома порожнинами.

Гіперболоїдом з двома порожнинами називають поверхню, яка в декартовій системі координат визначається рівнянням

Рис. 11

.

Здійснимо перетин цієї поверхні з координатними площинами Oyz (це поверхня x=0) та Oxz (це поверхня y=0). Дістанемо відповідні рівняння

.

Ці рівняння у відповідних площинах визначають гіперболи, осі яких направлені вздовж осі . Oz.

В координатній площині Oxy (це поверхня z=0) перетином буде еліпс:

Тепер розглянемо перетини з поверхнею площинами z=h. Підставивши це значення у рівняння гіперболоїда дістанемо

_{, або , ,.}

У цьому випадку величина h може приймати лише значення , звідки слідує, що гіперболоїд з двома порожнинами розміщений в межах .

Перетином поверхні площинами z=h є еліпси, велика та мала півосі яких нескінченно зростає при нескінченному зростанні величини h. Таким чином, розглянуті перетини дозволяють зобразити гіперболоїд у вигляді двох порожнин, які нескінченно розширюється по осі Oz, як вгору, так і вниз. (Рис. 11).

4. Еліптичний параболоїд.

Еліптичним параболоїдом називають поверхню, яка в декартовій системі координат визначається рівнянням

.

Д

Рис. 12

ослідимо цю поверхню за допомогою перетинів. Здійснимо перетин цієї поверхні з координатними площинами Oyz (це поверхня x=0) та Oxz (це поверхня y=0). Дістанемо відповідні рівняння

Ці рівняння у відповідних площинах визначають параболи, осі яких направлені вздовж осі Oz з вершинами на початку координат.

Тепер розглянемо перетини з поверхнею площинами z=h. Підставивши це значення у рівняння дістанемо

або _,

У цьому випадку величина h може приймати лише значення h ≥ 0 , звідки слідує, що еліптичний параболоїд розміщений у верхній частині простору z ≥ 0.

Перетином поверхні площинами z=h є еліпс, велика та мала півосі яких, нескінченно зростає при нескінченному зростанні величини h. Таким чином, розглянуті перетини дозволяють зобразити гіперболоїд у вигляді чаші, яка нескінченно розширюється по осі Oz вгору. (Рис. 12).