Завдання для самостійного розв'язання.

1. Написати рівняння площини "у відрізках на осях", що проходить через точку та має нормальний вектор . , .

2. Написати рівняння площини , що проходить через початок координат і через дві точки та .

3. Написати рівняння площин, що проходять через точку та:

а) проходить через початок координат і перпендикулярна площині ;

б) паралельна площині .

4. Знайти кут між площинами:

а) ;

б) ;

5. Серед трьох пар площин знайти пару паралельних площин і знайти відстань між ними:

а) ;

б) .

Відповіді.

1. .

2. .

3. а) , б) .

4. а) , б) .

5. а) прямі паралельні, ; б) прямі не паралельні.

§ 3. Пряма у просторі

Загальне рівняння прямої.

Загальне рівняння прямої визначається, як перетин двох площин

, , (29)

при умові, що ці площини не паралельні і не співпадають, тобто їхні нормальні вектори і не колінеарні.

Канонічне рівняння прямої, що проходить через задану точку та паралельна направляючому вектору :

. (30)

Параметричне рівняння прямої:

. (31)

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і :

. (32)

Взаємне розміщення двох прямих в просторі.

Кут між двома прямими та , які задані рівнянням

та ,

визначаються за формулою

; (33)

умова паралельності двох прямих:

; (34)

умова перпендикулярності двох прямих:

. (35)

Дві прямі перетинаються в просторі, якщо виконується умова:

. (36)

Якщо ця умова не виконується, то прямі мимобіжні.

Приклади.

1. Знайти канонічне рівняння прямої, яке задане загальним рівнянням

Розв'язання. Для канонічного рівняння прямої необхідно знати точку , через яку проходить пряма, та її направляючий вектор . Координати точки задовольняють систему рівнянь, яка визначає пряму. Взявши, наприклад, , із системи

знаходимо . Точка прямої знайдена. Дві задані площини мають нормалі та , кожна з яких перпендикулярна прямій перетину цих площин. Тому в якості направляючого вектора можна взяти векторний добуток , тобто . Підставивши знайдені значення та в канонічне рівняння прямої одержуємо:

.

2. Знайти кут між прямими

а) та

б) та .

Розв'язання. а) Рівняння представлені в канонічні формі. Перша пряма має напрямний вектор , а друга – . Кут між прямими визначається кутом між цими векторами:

.

б) Перше рівняння прямої представлене в канонічній формі. Її направляючий вектор . Друге рівняння прямої представлене в параметричній формі. Її направляючий вектор визначається коефіцієнтами при параметрі . Кут між прямими визначається кутом між цими векторами:

.

3. Визначити чи перетинаються прямі в просторі.

а) ;

б)

Розв'язання. а) Перевіримо умову (36), яка визначає, чи перетинаються дві прямі в просторі. У цьому випадку

; ; ; та .

Отже, дві прямі в просторі перетинаються.

б) Задані прямі мають відповідні направляючі вектори і та проходять через відповідні точки і. Перевіримо умову (36) для цих прямих: . Отже, прямі в просторі мимобіжні.