- •Заняття 9
- •§3.2. Послідовність. Границя послідовності
- •Способи задання послідовностей
- •Властивості, пов’язані із знаходженням границь послідовностей
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 10
- •§3.3. Границя функції
- •Основні теореми про границі
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 11
- •§3.4. Неперервність функції
- •Властивості неперервних функцій
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
Завдання для самостійного розв’язування
12. Користуючись означенням границі функції в точці, знайти границі:
а) ; б) ; в) ; г) .
13. Знайти границі:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ; 7) ;
8) ; 9) ; 10) ;
11) .
14. Знайти односторонні границі функції f у точці х0:
а) , х0=0; б) , х0=–5;
в) , х0=0; г) , х0=1.
Відповіді:
12. а) –3; б) ; в) 0; г) .
13. 1) –13; 2) –5; 3) 3; 4) 6; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) 2.
14. а) , ; б) , ; в) , ; г) , .
Заняття 11
§3.4. Неперервність функції
Неперервність функції в точці. Функцію f, визначену в околі точки x0, називають неперервною в цій точці, якщо =f(x0) (означення неперервної функції мовою границь).
Умови, одночасне виконання яких забезпечує неперервність функції f в точці x0:
1) функція f повинна бути визначена в околі точки x0 (в тому числі і в самій точці x0);
2) в точці x0 вона повинна мати скінченну границю;
3) ця границя повинна дорівнювати значенню функції f в точці x0, тобто =f(x0).
Різницю х–х0 (де х0 – фіксоване число) називають приростом аргументу в точці х0 і позначають х, а різницю f(х)–f(х0) називають приростом функції f у точці х0 і позначають f(х0).
Функцію f, визначену в околі точки x0, називають неперервною в цій точці, якщо =0 (означення неперервної функції мовою приростів).
Суть поняття неперервної функції в точці: функція f є неперервною в точці x0, якщо при малих зміщеннях від цієї точки відповідні значення функції змінюються також мало (рис.3.21).
Рис.3.21
Якщо , то функцію f називають неперервною зліва (неперервною справа) у точці x0. Для того щоб функція f була неперервною у точці x0 необхідно і достатньо, щоб вона була неперервною в цій точці і зліва, і справа.
Функцію f називають неперервною на множині М, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.
Кожна елементарна функція є неперервною на своїй області визначення.
Властивості неперервних функцій
Якщо функції y=f(x) і y=g(x) неперервні в точці х0, то в цій точці неперервними будуть також функції f+g, f–g, fg, (остання за умови, що g(х0)0).
Якщо функція f неперервна на відрізку [a;b], то вона обмежена на цьому відрізку (перша теорема Вейєрштрасса).
Якщо функція f неперервна на відрізку [a;b], то вона набуває на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень, тобто існують такі точки х1, х2[a;b], що і (друга теорема Вейєрштрасса).
Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b] і на кінцях відрізка набуває значень різних знаків, то існує принаймні одна точка с(a; b) така, що f(с)=0 (перша теорема Больцано-Коші).
Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b] і f(а)f(b), то для будь-якого числа С, що знаходиться між числами f(а) і f(b), існує точка с(a;b) така, що f(с)=С (друга теорема Больцано-Коші).
Точки розриву функції та їх класифікація. Функцію f називають розривною в точці x0, якщо вона визначена в точках, як завгодно близьких до точки x0, але не є неперервною в цій точці. При цьому точку x0 називають точкою розриву функції f.
Функція f є розривною в точці x0, якщо не виконується хоча б одна з умов 1–3 неперервності функції.
Точку х0 називають точкою розриву першого роду функції y=f(x), якщо функція f у цій точці має скінченні ліву і праву границі. Якщо х0 – точка розриву першого роду і односторонні границі дорівнюють одна одній (тобто існує ), то х0 називають точкою усувного розриву функції f. При цьому розрив можна усунути, якщо покласти . Якщо односторонні границі не дорівнюють одна одній, то число називають стрибком функції f у точці х0, а саму точку х0 – точкою стрибкового розриву.
Точку х0 називають точкою розриву другого роду функції y=f(x), якщо в цій точці принаймні одна з односторонніх границь не існує або дорівнює нескінченності.