- •Заняття 9
- •§3.2. Послідовність. Границя послідовності
- •Способи задання послідовностей
- •Властивості, пов’язані із знаходженням границь послідовностей
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 10
- •§3.3. Границя функції
- •Основні теореми про границі
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 11
- •§3.4. Неперервність функції
- •Властивості неперервних функцій
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
Приклади
Довести неперервність функції f на області визначення за означенням:
а) ; б) .
Розв’язання. а) Для заданої функції D(f)=R. Нехай х0 – довільна фіксована точка з області визначення функції f. Доведемо неперервність функції f у точці х0. Для цього використаємо означення неперервної функції в точці мовою границь. Враховуючи теореми про границю суми і добутку функцій, маємо:
= = .
Отже, = , тобто функція є неперервною в точці х0. Оскільки х0 – довільна точка з області визначення цієї функції, то функція f неперервна на своїй області визначення.
б) Нехай х0 – довільна фіксована точка з області визначення D(f)=R. Доведемо неперервність функції f у точці х0. Для цього використаємо означення неперервної функції в точці мовою приростів:
.
Якщо , то , . Тому
.
Згідно з означенням неперервної функції в точці мовою приростів функція неперервна в точці х0. Оскільки х0 – довільна точка з області визначення цієї функції, то функція f неперервна на D(f)=R.
2. Дослідити функцію f на неперервність і з’ясувати характер точок розриву:
а) ; б) ; в) ;
г) д)
Розв’язання. а) Область визначення функції f: D(f)=R\{–5;5}. Оскільки ф ункції f є елементарною, то вона неперервна в усіх точках області визначення. У точках х=–5 і х=5 функція f не визначена. Тому вона не є неперервною в цих точках (для кожної точки не виконується умова 1 неперервності функції). Оскільки функція f визначена в точках, як завгодно близьких до точок х=–5 і х=5 , то ці точки є точками розриву функції f.
Оскільки ,
,
то х=5 є точкою розриву другого роду.
З’ясуємо характер точки розриву х=–5.
, .
О скільки ліва і права границі функції f у точці х=–5 є скінченними, то ця точка є точкою розриву першого роду. Крім того, х=–5 є точкою усувного розриву (бо скінченні односторонні границі дорівнюють одна одній). Функцію f можна довизначити, поклавши . І тоді вона стане неперервною в точці х=–5.
Графік функції зображено на рис. 3.22.
б) Областю визначення функції f є множина R\{0}. Оскільки функція f є суперпозицією двох основних елементарних функцій і , то вона є елементарною функцією. Отже, вона неперервна на своїй області визначення. У точці х=0 функція f не визначена, однак визначена в точках як завгодно близьких до х=0. Тому х=0 – точка розриву функції f .
З’ясуємо характер точки розриву.
Якщо х0 і х<0, то . Тоді . Отже, .
Якщо х0 і х>0, то . Тоді . Отже, .
Оскільки односторонні границі функції f у точці х=0 є скінченними, то ця точка є точкою розриву першого роду, причому точкою стрибкового розриву (бо односторонні границі не дорівнюють одна одній).
– стрибок функції f у точці х=0.
Графік функції зображено на рис. 3.23.
в) Знайдемо область визначення функції :
D(f): .
Функція f є елементарною функцією, як суперпозиція основної елементарної функції і елементарної функції . Тому ця функції є неперервною на своїй області визначення.
У точках х=–2 і х=0 функція f не визначена (тому не є неперервною в цих точках), однак визначена в точках як завгодно близьких до х=–2 і х=0. Тому х=–2 і х=0 – точки розриву функції f .
У точці х=–2 можна знаходити лише ліву границю, а у точці х=0 – лише праву.
Якщо х–2 і х<–2, то і . Тоді (див. графік логарифмічної функції). Отже, .
Якщо х0 і х>0, то і . Тоді . Отже, .
Таким чином, х=–2 і х=0 – точки розриву функції f другого роду.
Графік функції зображено на рис. 3.24.
г) Функція визначна на множині R усіх дійсних чисел, неелементарна, оскільки задана трьома різними формулами. На інтервалах і – вона є неперервною функцією (бо на цих інтервалах вона задана неперервними функціями y=–1 і y=1 відповідно). Оскільки в точці х=0 не існує границя функції f (див. вправу 2 §3.2), то в цій точці функція f не є неперервною (бо не виконується друга умова неперервності функції). Однак функція f визначена в точках як завгодно близьких до точки х=0. Тому ця точка є точкою розриву функції f.
Оскільки , , то х=0 – точка розриву першого роду (стрибкового) із стрибком
.
д ) Задана функція визначна на множині R усіх дійсних чисел, неелементарна, оскільки задана двома різними формулами. На інтервалах і – вона є неперервною функцією (бо на цих інтервалах вона задана неперервною функцією ). Перевіримо виконання умов неперервності функції f у точці х=1.
У точці х=1 і в околі цієї точки функція f визначена.
Знайдемо односторонні границі функції f у точці х=1:
;
.
Оскільки , то в точці х=1 існує . Однак ця границя не дорівнює значенню функції f у точці х=1 ( ). Отже, не виконується умова 3 неперервності функції. Тому функція f у точці х=1 не є неперервної. Оскільки функція f визначена в точках як завгодно близьких до точки х=1, то ця точка є точкою розриву функції f.
Вище було встановлено, що в точці х=1 існують скінченні односторонні границі функції f, які дорівнюють одна одній. Отже, х=1 – точка розриву першого роду (усувна). Розрив функції f у точці х=1 можна усунути, якщо покласти .
Графік функції зображено на рис. 3.25.