Властивості, пов’язані із знаходженням границь послідовностей

1. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

2. Якщо послідовності (а_n) і (b_n) є збіжними, причому і , то збіжними є також послідовності: (а_n+b_n), (а_n–b_n), (а_nb_n), причому

;

.

3. Якщо послідовності (а_n) та (b_n) є збіжними і , , причому b_n0 nN і 0, то збіжною є також послідовність , причому .

4. (про границю проміжної послідовності) Нехай (а_n) і (b_n) – збіжні послідовності, причому . Якщо, починаючи з деякого номера n, виконується нерівність а_n≤с_n≤b_n, то послідовність (с_n) також є збіжною, причому .

5. (про перехід до границі в нерівності) Нехай (а_n) і (b_n) – збіжні послідовності. Якщо, починаючи з деякого номера n, виконується нерівність а_n≥b_n, то .

6. Якщо послідовність (а_n) – нескінченно мала, а послідовність (b_n) – обмежена, то послідовність (а_nb_n) – нескінчено мала, тобто .

7. Якщо і (b – скінченне число), то .

8. Якщо (a – скінченне число і a0), а , то .

Приклади

1. Записати чотири перших члени послідовності , якщо:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. Надаючи n послідовно значень 1, 2, 3, 4, одержуємо:

а) ;

б) ; ;

; ;

в) враховуючи, що , маємо:

, ;

; .

2. Записати одну з формул для загального члена послідовності, якщо відомо її перші чотири члени:

а) ; б)

Розв’язання. а) Чисельники дробів утворюють послідовність натуральних чисел, починаючи з 2, кожен член якої на одиницю є більшим від свого номера, тобто утворюють послідовність . Знаменники дробів є степенями числа 3, тобто утворюють послідовність . Отже, – одна із формул загального члена заданої послідовності.

б) Чисельники дробів утворюють послідовність натуральних чисел. Перші множники 1, 5, 9, 13, … у знаменниках дробів утворюють арифметичну прогресію із різницею d=4 і першим членом . Тому за формулою n-го члена арифметичної прогресії маємо:

.

Другі множники 5, 9, 13, 17, … у знаменниках дробів також утворюють арифметичну прогресію із різницею d=4 і першим членом . Тому n-ий член цієї прогресії дорівнює:

.

Отже, знаменники дробів утворюють послідовність чисел із загальним членом .

Зміну знаку перед членами заданої послідовності можна забезпечити ввівши множником вираз вигляду .

Отже, – одна із формул загального члена заданої послідовності.

3. Довести обмеженість послідовності із загальним членом .

Розв’язання. Оскільки , то очевидно, що для всіх nN. Враховуючи, що для всіх nN, маємо:

.

Отже, для всіх nN. Тому послідовність із загальним членом є обмеженою.

4. Довести, що послідовності із загальним членом спадає.

Розв’язання. Маємо: , . Оскільки , то . Тому для всіх nN. Згідно з означенням послідовність є спадною.

Оскільки послідовність є спадною і обмеженою знизу, то за теоремою Вейєрштрасса вона є збіжною. Нижче буде показано, що її границя дорівнює 1.

5. Знайти границі:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; є) ;

ж) ; з) ;

и) ; і) .

Розв’язання. а) Якщо n, то n³+, а тому 0. Отже, .

Узагальненням знайденої границі є така границя: , де k і  – фіксовані числа, >0.

б) Якщо n, то 5n+ і –5n–. Тому .

в) Оскільки і , , то за властивістю 2 збіжних послідовностей маємо:

= .

г) Оскільки і , то використовувати властивість про границю частки послідовностей не можна. В цьому випадку маємо так звану невизначеність вигляду . Щоб усунути цю невизначеність перетворимо дріб , поділивши його чисельник і знаменник на (найвищий степінь многочленів, що знаходяться у чисельнику і знаменнику):

= = .

Скориставшись спочатку властивістю про границю частки, а потім про границю суми і різниці послідовностей, одержимо:

= =

= .

Отже, .

д) У даному випадку маємо невизначеність вигляду . Поділимо чисельник і знаменник дробу на – найвищий степінь многочленів, що знаходяться у чисельнику і знаменнику дробу, а потім скористаємося властивостями про границю частки і про границю суми збіжних послідовностей:

= = = .

е) Маємо невизначеність вигляду . Поділимо чисельник і знаменник дробу на :

= .

Оскільки і , то за властивістю 8, маємо: .

є) Маємо невизначеність вигляду . Спочатку перетворимо вираз . Цей вираз є сума n перший членів арифметичної прогресії із першим членом а₁=1 і різницею d=3. Тому за формулою суми n перших членів арифметичної прогресії маємо:

= .

Тоді

= = .

Поділивши чисельник і знаменник дробу на , а потім скориставшись властивостями про границю частки, суми і різниці збіжних послідовностей, одержимо:

= .

ж) Спочатку перетворимо вирази, що знаходяться у чисельнику і знаменнику дробу. Чисельник дробу є сума n перших членів геометричної прогресії із першим членом b₁=1 і знаменником q= . Тому, використовуючи формулу для суми n перших членів геометричної прогресії , одержимо:

= .

Знаменник дробу є сума n перших членів геометричної прогресії із першим членом b₁=1 і знаменником q= . Тому

= .

Тоді за властивостями про границю частки і різниці збіжних послідовностей маємо:

.

з) Оскільки і , то маємо невизначеність вигляду . Щоб її усунути, помножимо і поділимо вираз на спряжений до нього: :

=

= =

= = =

= .

При знаходженні останньої границі одержимо невизначеність вигляду . Щоб її усунути перетворимо чисельник і знаменник дробу, а потім скористаємося властивостями про границю частки, суми і різниці збіжних послідовностей:

= =

= = =

= .

и) = . При n≥15 маємо . Тоді . Оскільки , то за властивістю 4 (про границю проміжної послідовності) маємо: =0.

і) Оскільки , послідовність – нескінченно мала, послідовність – обмежена (бо |sin n|≤1 nN), то за властивістю 6 маємо: =0.