![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Модуль іv. Похідна функції Заняття 12
- •§4.1. Похідна функції. Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій
- •Правила диференціювання функцій
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4.2. Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень. Похідні і диференціали вищих порядків
- •Властивості диференціала
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 13
- •§4.3. Основні теореми диференціального числення. Правило Лопіталя
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4.4. Застосування похідної до дослідження функцій
- •Алгоритм знаходження інтервалів зростання і спадання,
- •Алгоритм знаходження інтервалів опуклості вгору,
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Заняття 14
- •§4.5. Дослідження функції та побудова її графіка
- •Приклади
- •Завдання для самостійного розв’язування
Завдання для самостійного розв’язування
1. Використовуючи означення похідної функції f у точці х0, знайти похідні функцій:
а)
;
б)
.
2. Знайти похідну функції:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
.
3.
Знайти значення похідної функції
у
точці х0:
а)
,
х0=
;
б)
,
х0=
.
4. Знайти рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х0:
а)
,
х0=2;
б)
,
х0=
;
5.
Знайти рівняння дотичних, проведених
до графіка функції
у точках його перетину з прямою y=1.
7.
Матеріальна точка рухається прямолінійно
за законом
.
Знайти швидкість і прискорення точки
у момент часу
(шлях s
вимірюється в метрах).
10.
Обсяг продукції,
виробленої бригадою робітників впродовж
дня, описується функцією
,
де t
– час, виражений у годинах. Визначити
продуктивність праці
бригади через 2 години після початку
роботи.
Відповіді:
1.
а)
;
б)
.
2.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
;
9)
;
3. а) –2; в) 6.
4. а)
;
б)
.
5.
,
.
6. v=35 м/с, а=22 м/с2.
7. 63 од/год.
§4.2. Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень. Похідні і диференціали вищих порядків
Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х0. Похідна функції f у точці х0 визначається рівністю
.
(4.1)
Оскільки
– це
,
то
відрізняється від
на деяку нескінченно малу величину
,
яка прямує до нуля, коли
.
Тому рівність (4.1) можна записати у
вигляді
= + , (4.2)
де
,
коли
.
З (4.2) маємо
.
(4.3)
Обидва доданки у рівності (4.3) є нескінченно малими величинами при .
Якщо функція y=f(x)
диференційовна у точці х0,
то добуток
називають диференціалом
функції f у точці х0
і позначають
df(х0).
Отже,
df(х0)= . (4.4)
Тому рівність (4.3) можна записати так:
.
(4.5)
Якщо f(x)=x,
то
.
Отже,
.
Враховуючи це, рівність (4.4) можна записати
у вигляді
df(х0)=
.
(4.6)
З рівності (4.5) випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала на нескінченну малу величину при . Тому
або
або
,
коли
.
(4.7)
За допомогою формули (4.7) можна обчислювати наближені значення функції у точках, близьких х0.
Використовуючи формулу (4.7) можна довести, що
.
(4.8)
Зокрема, якщо
,
то
.
(4.9)
Властивості диференціала
1.
.
2.
.
3.
.
4. Якщо z=f(х),
х=g(t),
тобто
,
то
.
Отже, форма диференціала не залежить
від того, чи є аргумент x
незалежною змінною, чи функцією іншого
аргументу. Таку властивість називають
інваріантністю
форми диференціала.
Нехай у точці х0
існує
.
Якщо у точці х0
також існує
похідна функції
,
тобто існує
,
то її називають другою
похідною або
похідною
другого порядку функції
f
у точці х0
і позначають
або
.
Аналогічно означають похідні третього,
четвертого і т.д. порядків.
Другим диференціалом
або диференціалом
другого порядку
в точці х0
функції
y=f(x),
двічі диференційовної в цій точці,
називають диференціал від диференціала
першого порядку і позначають
,
тобто
=
.
Справедлива
рівність
=
.
Аналогічно для
функції
y=f(x),
n
разів диференційовної в точці х0,
вводять поняття диференціала n-го
порядку:
=
.
При цьому є справедливою рівність
=
.
(4.10)