Завдання для самостійного розв’язування

6. Записати чотири перших члени послідовності:

а) ; б) ; в) .

6. Записати одну з формул для загального члена послідовності, якщо відомо її кілька перших членів:

а) б) ;

в) 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0; г) .

8. Довести обмеженість послідовності:

а) ; б) .

9. Довести, що послідовність спадає, якщо:

а) ; б) .

10. Довести, що послідовність зростає, якщо:

а) ; б) .

11. Знайти границю:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Відповіді:

6. а) ; б) ; в) 0, –1, 0, 1;

7. а)  ; б) .

11.  а) ;  б) ;  в) 0;   г) 0;   д) .

Заняття 10

§3.3. Границя функції

Нехай функція y=f(x) визначена в деякому околі О(x₀) точки x₀ за винятком, можливо, самої точки x₀. Тоді число А називають границею функції f у точці x₀ і записують =А, якщо =А для довільної послідовності (x_n), що володіє властивостями:

1) x_nО(x₀) nN; 2) x_nx₀ nN; 3) =x₀.

Зауваження 1. В означенні границі функції x₀ і А можуть бути як скінченними так і нескінченно віддаленими точками.

Зауваження 2. Існування чи не існування границі функції в точці x₀ та значення границі в цій точці не залежить від того, визначена функція f у точці x₀ чи ні, а якщо визначена, то чому дорівнює значення функції в цій точці.

Суть поняття границі функції в точці. Число А (скінченне або нескінченно віддалене) є границею функції f у точці х₀, якщо значення функції f(x) як завгодно близько наближаються до А, коли значення аргументу х досить близько наближають до х₀ і хх₀. Отже,

 f(x)А, коли хх₀ і хх₀.

Якщо в означенні границі функції в точці взяти послідовність (x_n) такою, що x_n<x₀ nN, то тоді число А називають лівою границею функції f у точці x₀ і позначають =А або , а якщо x_n>x₀ nN, то тоді число А називають правою границею функції f у точці x₀ і позначають =А або .

Для того щоб у точці x₀ існувала границя функції f необхідно і достатньо, щоб у цій точці існувала права і ліва границі цієї функції і щоб вони були рівними між собою.

Умови неіснування границі функції f в точці x₀. Нехай функція f визначена в деякому околі О(x₀) точки x₀ за винятком, можливо, самої точки x₀. Тоді в цій точці границя функції f не існує, якщо існують принаймні дві такі послідовності (x_n) і ( ), що:

1. x_n, О(x₀) nN; 2) x_nx₀ і x₀ nN; 2) =x₀ і =x₀,

але

 .

Основні теореми про границі

1. Якщо функція y=f(x) у точці x₀ має границю, то ця границя єдина.

2. Якщо в точці х₀ існують скінченні границі функцій f і g ( , ), то в цій точці існують також скінченні границі функцій: f+g, f–g, fg, (остання границя буде скінченною за умови ), причому:

а) ;

б) ;

в) .

3. Якщо (А0), а , то .

4. Якщо (А – скінченне число), а , то .

При знаходженні границь часто використовують деякі важливі границі, наведені нижче.

1. (перша чудова границя).

1.1. .

2. або (друга чудова границя).

3. .

3.1. .

4. .

4.1. .

5. або .

Якщо то функцію f називають нескінченно малою в точці х₀. Якщо то функцію f називають нескінченно великою в точці х₀.

Нескінченно малі (нескінченно великі) у точці х₀ функції f і g називають еквівалентними, якщо . При цьому записують  , .

Ураховуючи важливі границі, маємо такі еквівалентності при :

, , ,

, , .

При знаходженні границі нескінченно малі (нескінченно великі) функції f і g можна замінювати еквівалентними функціями f₁ і g₁, тобто = , якщо , при .