16. Определение условной вероятности

Вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А).

Событие А может происходить раньше события В или одновременно с ним.

Условие независимости события В от события А можно записать в

виде: Р(В/А)=Р(В), а условие зависимости В от А - в виде: Р(В/А)≠Р(В).

17. Определение независимых событий и вероятность произведения независимых событий в совокупности

Событие В называется независимым, от события А, если вероятность события В не зависит от того, произошло событие А или нет. Событие В называется зависимым от события А, если

вероятность события В меняется в зависимости от того, произошло событие А или нет.

Для n событий: Р(А1*А2*…*Аn)=P(A1)P(A2/А1)…Р(Аn/А1*А2*…*А_n-1)

19. Формула Байеса

Пусть некоторому испытанию соответствуют n попарно несовместных событий (гипотез), образующих полную группу, причем Р(H_i)≠0 i=1,2,...,n. Пусть вместе с одной из этих гипотез (неизвестно, какой) наступило некоторое событие А, вероятность которого также отлична от 0. Тогда условные вероятности любой из гипотез при условии наступления события А можно вычислить по формулам: ; i=1,2,..,n.

Доказательство. Согласно второму определению условной вероятности

; Числитель найдем по теореме умножения:

, а знаменатель - по формуле полной вероятности: ; Подставляя, получим искомую формулу , и теорема доказана.

20. Формула Бернулли, вероятность появления заданного числа

При n испытаниях по схеме Бернулли относительно события А вероятность наступления m раз события А определяется формулой (1)

Доказательство: мы предположим что число всех вариантов равно С_n^m и в силу независимости опытов вер-ть каждого варианта равна , то вероятность появления равна ф-ле (1), которую называют биноминальной вероятностью.

22. Вероятность Рn(к) при большом значении n. Локальная теорема Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Пусть проводится серия из п испытаний по схеме Бернулли. Если вероятность появления события А в каждом испытании р отлична от 0 и 1, то вероятность Р_n(к) того, что событие А появится в n испытаниях ровно к раз, приближенно равна значению функции ; где р=1-q, , Доказательством опирается на формулу Стирлинга: .

23. Интегральная теорема Лапласа +лекция

Пусть проводится серия из n испытаний по схеме Бернулли, причем n достаточно велико. Если вероятность появления события А в каждом испытании р отлична от 0 и 1, то вероятность Рn(к₁, к₂) того, что событие А появится в n испытаниях не менее к₁ и не более к₂, раз, приближенно равна разности значений функции Лапласа в точках х1 и х2:

Рn(к1,к2) = Ф(х2)-Ф(х1) где ;