11. Свойства относительной частоты

1. 0<ω(А)<1. Доказательство. Ясно, что событие А в серии из п испытаний не может появиться меньше 0 раз и больше п раз. 0<к(А)<п => 0< <1.

2. ω(ᴓ)=О; ω(Ω)=1. Доказательство. Невозможное событие никогда не появляется => его* абсолютная частота =0. Достоверное событие появляется при каждом испытании=> его абсолютная частота равна п.

K(ᴓ)=0 => ; k(Ω)=n =>

3. Если А1,А2, ...Аn попарно несовместны, то ω(A1+A2+…+An)= ω(A1)+ω(A2)+…+ω(An)

Докажем для двух событий: Если А и В несовместны, то нужно скачать, что ω(А+В)=ω(А)+ω(В). Действительно, событие А+В и происходит тогда и только тогда, когда происходит либо А, либо В (а вместе они произойти не могут). Событие А происходит к(А) раз, событие В - к(В) раз. Событие А+В происходит к(А)+ к(В) раз, т.е. абсолютная частота события А+В равна к(А+В)= к(А)+ к(В);

; ω(A+B)=ω(A)+ω(B)

12. Классическое определение вероятности

Предположим, что достоверное соб Ω сост из элементар соб (ω1,ω2,…ωn). Эти события равновозможны. Предположим, что благопр m элементар соб из числа n элементар соб

Опре-е: Вероятностью случ соб А называется отношение числа m к общему числу n элементар соб-й. Свойства:

1. Границы вероятности 0≤P(A)≤1

2. Вероятность достоверного события P(Ω)=1

3. P(ᴓ)=0

4. P(AUB)= P(A)+P(B)

13. Аксиомы теории вероятности.

Вероятностью Р(А) называется числовая функция, определенная на множестве всех событий, соответствующих данному испытанию, и обладающая следующими свойствами:

1. Границы вероятности 0≤P(A)≤1

2. Вероятность достоверного события P(Ω)=1

3. P(ᴓ)=0

4. P(AUB)= P(A)+P(B)

14. Теоремы сложения вероятностей

1. Для вычисления вероятности суммы попарно несовместных событий используется аксиома 3, т.е. свойство аддитивности вероятности. При этом весьма полезным является понятие противоположного события.

2. Если события А и В совместны, то для нахождения вероятности их суммы применяется следствие из системы аксиом Р(А +В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(С)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABС)

Доказательство.

Р(А + В + С) = Р((А + В) + С) = Р(А + В) + Р(С) - Р((А + В)*С) =

= Р(А + В) + Р(С) - Р(АС + ВС) =

= Р(А) + Р(В) - Р(АВ) + Р(С) - [Р(АС) + Р(ВС) - Р(АС * ВС)] =

=Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС), ч.т.д.

15. Теорема умножения вероятностей

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ)=Р(А)-Р(В/А).

Доказательство. Докажем теорему умножения для схемы равновозможных исходов, когда события А и В происходят одновременно. Пусть некоторому испытанию соответствует множество п элементарных исходов. Пусть событию А благоприятствуют m_A исходов. Рассмотрим случай, когда события А и В совместны, тогда могут существовать исходы, благоприятствующие и событию А, и событию В (рис.5.5.1). Обозначим число этих исходов m_AB, Тогда ; Вычислим Р(В/А). Если событие А произошло, то из ранее возможных п исходов остаются возможными только те m_A, которые благоприятствовали событию А. Из них m_AB исходов благоприятствуют событию В. Следовательно,

откуда получим искомую формулу, и теорема доказана.