Виправлена вибіркова дисперсія
Закон рівномірного розподілення ймовірності
Щільність розподілень неперервних ВВ називають законами розподілення.
Розподілення ймовірностей називають [a, b] рівномірним, якщо на інтервалі, якому належать всі можливі значення – ВВ, щільність розподілення зберігає постійне значення.
Так як всі можливі значення ВВ належать інтервалу (a, b), то повинно виконуватися співвідношення
чи
.
Звідси
Приклад. Є завод „Оболонь”, на якому розливають воду в маленькі пляшечки (200 мл води). Воду розливає автомат, виявляється, що отриманні значення не рівні точно заданому значенню 200 мл, а розподілені на деякому інтервалі (від 190 до 210). Щоб налагодити автомат, треба знайти з якою ймовірністю попадаємо в той чи інший інтервал.
Функцію щільності ймовірності наливання у пляшечки води можна подати у вигляді
|
|
Площа під графіком дорівнює 1. Це найпростіший приклад розподілу ВВ (рівномірний розподіл).
Рівномірність тут визначається рівноймовірністю влучення ВВ на різні ділянки рівної довжини.
Для цієї ж задачі можна використати функцію щільності іншої форми (на практичному занятті).
Математичне очікування неперервної ВВ Х, можливі значення, які належать відрізку [a, b], називають визначений інтервал.
Якщо значення належать для усієї осі х, то
Для рівномірного розподілення
Дисперсією неперервної ВВ називають математичне очікування квадрати її відхилення.
Якщо можливі значення Х належать відрізку [a, b], то
якщо всій осі
Середнє квадратичне відхилення неперервної ВВ визначається, як і для величини дискретної
Дисперсія для рівномірного розподілення
Нормальне розподілення
Нормальним називають розподілення ймовірностей неперервної ВВ, яке описується щільністю
Нормальне розподілення
визначається двома параметрами: а
та
.
Достатньо знати ці параметри, щоб задати нормальне розподілення.
Імовірнісний зміст цих параметрів такий:
а – математичне очікування;
– середнє квадратичне відхилення нормального розподілення.
Математичне очікування нормального розподілення
Дисперсія нормального розподілення
Середнє квадратичне
Тема: Елементи математичної статистики.
Означення Математична статистика, як і інші статистичні дисципліни, також вивчає ознаки (властивості) статистичної сукупності.
Дослідження всієї статистичної сукупності ведеться в рамках вибіркового методу.
Під вибірковим методом розуміють метод статистичного дослідження, що дозволяє вивчення ознак статистичної сукупності проводити на основі дослідження випадково відібраної деякої її частини. При цьому усю статистичну сукупність називають генеральною сукупністю, а випадково відібрану частину вибірковою сукупністю або просто вибірковою.
Випадковий вибір
Випадкова вибірка n з генеральної сукупності N (усі сукупності по n елементів мають рівні ймовірності бути вибраними).
Приклад. Вибори президента Америки у 1936 році. (Рузвельт, Ландон).
Якщо можливо вказати комплекс умов, при яких подія обов’язково відбудеться, то така подія називається достовірною.
Подія, яка завідомо не може відбутися при реалізації даного комплексу умов, називається неможливою.
Очевидно, неможлива подія рівносильна достовірності протилежної події.
Передбачити з повним визначенням можливість реалізації тієї чи іншої події вдається не завжди. Це пов’язано з тим, що комплекс умов не віддзеркалює всієї сукупності причинно-наслідкових зв’язків між явищами. Або ці причини не достатньо вивчені, або врахування всієї сукупності настільки велике, що практично виконати його неможливо, тому обмежуються лише вимірюванням або контролем деяких факторів.
При цьому невизначеність є ознакою випадкової події.
Журнал „Літературній огляд” вибрав 4 000 000 респондентів по телефонним книгам отримали результат Ландон.
(вибірка була зміщена) тому, що телефонні книги були у багатих.
Джордж Геллан та Е. Роупер
4 000 анкет (принцип: зменшені вибірки
з однорідних соціальних верст суспільства,
Рузвельт.)
Так як часто вивчення сукупності об’єктів виконується на базі експериментальних вимірів (маси, розміри і т. д.), то розглянемо випадкову вибірку, як математичну модель незалежних вимірів, які проводилися в однакових умовах:
випадкова вибірка обсягу n – це випадковий вектор (х1, х2, ..., хn), де (хk ; k=1, …, n) незалежні випадкові величини з однаковими розподілами
Випадкове
величина
є („генератором”, джерелом) генеральної
сукупності.
Невідомі характеристики генеральної сукупності випадкової величини (параметри) приблизно оцінюють обраховуючи відповідні характеристики вибірки (статистики).
Однією з головних характеристик вибірки є емпірична функція розподілу Fn(x).
Конкретне значення величини, що характеризує ознаку об’єкта, називають варіантою, а послідовність варіант в зростаючому порядку – варіаційним рядом (упорядкованим рядом).
Якщо у вибірці обсягу N варіанта хі спостерігалась з частотою m, то відносна частота варіанти виражається як
Перелік варіант і відповідних їм частот або відносних частот формує статистичний розподіл вибірки.
Приклад. Для перевірки роботи розважної (развесочной) машини відібрали вісім пакетів і результати їх важення представлені у таблиці
№ пакета |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Вага |
247 |
252 |
248 |
253 |
246 |
245 |
248 |
250 |
Якщо вибірку перенумерувати у порядку зростання, то отримаємо варіаційний ряд.
