Основи теорії ймовірності

Елементи комбінаторики

Комбінаторика – це розділ математики, який вивчає задачі про розташування чи вибір елементів з множини.

Маємо k множин М₁, М₂, ..., М_k, які вміщують в собі n₁, n₂, …, n_k елементів. Число комбінацій елементів, взятих з кожної множини по одному, дорівнює

Наприклад. Документи, які були оформлені на виїзд з країни, пройшли контроль. 10 паспортів було перевірено Івановим, 12 – Петровим, 9 – Смирновим. Скількома способами можна вибрати по 3 паспорта так, щоб в кожній виборці був представлений один паспорт, перевірений кожним інспектором?

З множини , яка містить n елементів, вибирають m елементів та розташовують у строго визначеному порядку. Отримаємо комбінації, які відрізняються самими елементами чи порядком їх розташування, називаються розміщеннями.

Число розміщень l елементів, вибраних з n елементів, дорівнює

,

Приклад. В групі з 25 студентів вибираються староста, профорг, культорг. Яке число усіх можливих варіантів вибору „трикутника” групи.

Число розміщення з 25 елементів 3 дорівнює

Якщо кожна комбінація з множини, містить n елементів, складається з n елементів, то отримані розміщення називаються перестановками. Число перестановок з n елементів дорівнює

Приклад. Для проведення іспитів було відібрано 5 різноманітних моделей автомобіля. Скількома способами вони можуть бути розподілені між п’ятьома іспитниками?

Число способів, якими можна розподілити 5 автомобілів, дорівнює числу комбінацій з 5 елементів 5

З множини , яка містить n елементів, вибирають m елементів в будь-якій послідовності, тобто їх розміщення не має значення. Отримані комбінації вважаються різними, якщо вони відрізняються хоча б одним елементом.

Такі комбінації називаються сполученням. Число сполучень з множини n елементів по m дорівнює

Приклад. Для проходження практики в Міністерстві іноземних справ з групи в 25 студентів виділити повинні 3-х чоловік. Яке число всіх можливих варіантів вибору цієї трійки?

Число можливих варіантів дорівнює числу комбінацій з 25 елементів по 3

Випадкові події

Теорія ймовірності вивчає закономірності явищ, які проходять при масовому повторенні (досліду).

Початковим моментом при вивченні, вказаних закономірностей є умова, що дослід може бути повторений скільки завгодно раз.

Наприклади.

1. Підкидання монет.

два наслідки: а₁ – монетка упала цифрою до гори,

а₂ – монетка упала гербом до гори,

.

2. Вилучення навмання шару з урни, яка містить червоні, чорні і білі шари. В результаті досліду можуть виникнути різноманітні наслідки.

Тобто маємо три наслідки: .

Випадковою подією називається будь-який факт, який в результаті іспиту може відбутися або не відбутися.

Події будемо позначати великими літерами А, В, С.

Можливість появи випадкової події А при реалізації комплексу умов S оцінюється кількісною мірою Р(А /S), або Р(А), яка називається ймовірністю події А.

Для любої випадкової події

Якщо Р(А)=0 – подія неможлива

Р(А)=1 – подія достовірна

Інтуїтивно зрозуміло, що подія чим більш ймовірна, тим частіше вона настає при вказаному комплексі умов. Таким чином ймовірність пов’язана з частотою появи події А при багатократному повторенні комплексу умов S. З ростом числа таких повторень, які називаються іспитами (дослідами) частота все точніше характеризує величину ймовірності.

Закономірності, які притаманні випадковим подіям мають масовий характер і називаються імовірнісними або стохастичними.

Існує багато підходів до визначення ймовірності, наприклад, класичне визначення.

Якщо з загального числа n рівноможливих і несумісних випадків події А відповідають m випадків, то

В більш складних випадках використовують комбінаторні методи.

Приклад.

По факсу отримано 8 повідомлень з політичного питання та 12 з економічного питання країни.

Ви берете одне з них навмання. Яка ймовірність, що це повідомлення з політичного питання? Яка ймовірність, що це повідомлення з економічного питання?

m₁ – число повідомлень з політичних питань;

m₂ – число повідомлень з економічних питань;

n – загальне число повідомлень.

Р(А) – частота події А;

Р(B) – частота події B;

.

;

.

Ймовірність того, що це повідомлення з політичного питання дорівнює . Ймовірність того, що це повідомлення з економічного питання дорівнює .

Комбінаторні визначення ймовірності можливо використовувати, якщо завчасно можливо застосовувати положення про однакову можливість результатів досліду (іспитів).

Статистичний підхід засновано на реєстрації події А при багатократному повторенні досліду в однакових умовах S.

На практиці неможливо реалізувати , тому частоту називають статистичною ймовірністю.