Математичне очікування та стандартне відхилення для біноміального розподілення
Математичне очікування для дискретної ВВ
Математичне очікування для дискретної ВВ з біноміальним розподіленням ймовірностей
де n – число дослідів,
p – ймовірність успіху у кожному досліді,
P(r) – біноміальна ймовірність.
Стандартне відхилення для дискретної ВВ
Для ВВ з біноміальним розподіленням ймовірностей
Отже дисперсія дорівнює
,
де q –
ймовірність „невдачі” в любому досліді.
Приклад (продовження прикладу 1)
Знайти математичне очікування зламавшихся за день станків та стандартне відхилення
Число зламавшихся за день станків |
Ймовірність поломки P(r) |
r P(r) |
r 2 P(r) |
0 |
0,3277 |
0 |
0 |
1 |
0,4096 |
0,4096 |
0,4096 |
2 |
0,2048 |
0,4096 |
0,8192 |
3 |
0,0512 |
0,1536 |
0,4608 |
4 |
0,0064 |
0,0256 |
0,1024 |
5 |
0,0003 |
0,0015 |
0,0075 |
Всього |
1,000 |
0,9999 1,0000 |
1,7995 1,8000 |
За загальною формулою математичне очікування ВВ
За формулою біноміального розподілення
тобто очікувана кількість поломок – один станок в день.
Стандартне відхилення (загальна формула ВВ)
По формулі біноміального розподілення
дисперсія
Розподілення Пуассона
Загальна формула розподілення ймовірностей Пуассона
де 
– середнє число „успіхів” на одиницю
r – 0, 1, 2, ...
е – константа 2,718...
Важливе допущення:
,
коли n –
дуже велике, p
– дуже мале. Тобто формула виражає закон
розподілення Пуассона ймовірностей
масових та рідких подій.
Характерні особливості даних, для яких найкращім образом підходить розподілення Пуассона:
Кожний малий інтервал часу може розглядатися як дослід, результатом якого є одне з двох: чи є подія („успіх”), чи її відсутність („невдача”). Інтервали настільки малі, що може бути тільки один „успіх” в одному інтервалі, ймовірність якого мала та незмінна.
Число „успіхів” в одному великому інтервалі не залежить від їх числа в другому, тобто „успіхи” хаотично розкидані на проміжках часу.
Середнє число „успіхів” постійно протягом всього часу.
Розподілення ймовірності Пуассона може бути використано не тільки при роботі з випадковими величинами на інтервалах часу, але і при (****) обліку дефектів дорожнього покриття на кілометр шляху чи обліку помилок на сторінку тексту на сторінку тексту.
е=2,718...
е-1 0,37; е-2 1/7 0,143; е-3 1/20 0,0498; е-4 1/50 0,02.
Приклад 2
В середньому на телефонній станції замовляють три телефонних розмови протягом п’яти хвилин. Яка ймовірність, що буде замовлено 0, 1, 2, 3, 4 чи більше чотирьох розмов протягом п’яти хвилин?
Рішення:
Застосуємо розподілення Пуассона, так як:
Існує необмежена кількість дослідів, тобто маленьких відрізків часу, коли може з’явитися замовлення на телефонну розмову, ймовірність чого мала та постійна.
Рахується, що попит на телефонні розмови хаотично розподілений в часі.
Рахується, що середнє число телефонних розмов на любому 5-хвилинному відрізку часу однаковий.
В цьому прикладі середнє число замовлень дорівнює 3 за 5 хвилин.
Звідси, розподілення Пуассона
,
r = 1, 2, 3, 4,
...
Р(0 замовлень за 5 хвилин)
При розподіленні ймовірності Пуассона, знаючи середнє число „успіхів” на 5-хвилинному проміжку, можемо взнати r середнє число „успіхів” за годину, треба помножити m на 12. Середнє число замовлень за годину буде 3х12=36= m.
Середнє число замовлень за хвилину m=3/5=0,6.