Графічне представлення розподілення дискретної вв

1. Функція ймовірності

2. Інтегральна функція розподілу

Знайти ймовірність Р(х<3)

Яка ймовірність того, що ми попали в інтервал

Властивості математичного очікування

1. Математичне очікування постійної величини дорівнює їй самій

2. Математичне очікування суми двох В.В. дорівнює сумі їх математичних очікувань

3. Якщо до ВВ додати константу С її математичне очікування збільшиться на цю константу

4. Математичне очікування суми кінцевого числа ВВ дорівнює сумі їх математичних очікувань

5. Якщо ВВ умножити на константу С (const), то її математичне очікування збільшиться в стільки разів

6. Якщо , то

7. Якщо ВВ х, у незалежні, то

Властивості дисперсії

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю

2. Дисперсія суми ВВ та С (const) дорівнює

3.

4.

5. Якщо , то

6. , де і називається кореляційним моментом ВВ Х, У.

Кореляційний момент грає важливу роль, він описує взаємозв’язок ВВ. Обмежимося поки що наступним припущенням.

Припущення: Якщо випадкові величини Х, У незалежні, то .

Квадратний корінь з дисперсії ВВ Х називається середнім квадратичним відхиленням

Середнє квадратичне відхилення позначається звідси

Лекція 2

Тема: Біноміальний закон розподілу

Нехай виконується n незалежних дослідів, в кожному з яких подія А може з’явитися чи не з’явитися. Ймовірність настання події в усіх дослідах постійна і дорівнює р (тоді ймовірність не появи події q=1-p).

Розглянемо у якості дискретної ВВ Х число появи події А в цих дослідах.

Поставимо перед собою задачу: знайти закон розподілення величини Х. Для її вирішення необхідно визначити можливі значення Х та їх ймовірності. Очевидно, подія А в n дослідах може чи не з’явитися, чи з’явитися 1 раз, чи 2 рази, ... чи n раз. Таким чином, можливі значення Х такі: х₁=0, х₂=1, х₃=2, ..., х_n+1 = n. Залишається знайти ймовірності цих можливих значень, для цього достатньо скористатися формулою Бернуллі:

Ця формула і є аналітичним виразом шуканого закону розподілення.

Біноміальним називають розподілення ймовірностей, яке визначається формулою Бернуллі. Закон зветься біноміальним тому, що праву частину рівняння можемо розглянути як загальний член розкладання бінома Ньютона:

Таким чином, перший член розкладу визначає ймовірність настання розглядаємої події n раз в n незалежних дослідах, другий член визначає ймовірність настання події n-1 раз; ...; останній член визначає ймовірність того, що подія не з’явиться жодного разу.

В любому експерименті, де для n ідентичних, незалежних дослідів з двома можливими наслідками („успіх” та „невдача”) ймовірність „успіху” одна й таж сама, ймовірність r „успіхів” в n дослідах дорівнює

p(r)=(ймовірність r „успіхів”)*(ймовірність(n-r) „невдач”)*(число способів, якими це може бути зроблено)

Приклад 1 Ймовірність поломки одного з п’яти працюючих незалежно один від одного станків дорівнює 0,2. Якщо відбувається поломка, станок до кінця дня не працює. Яка ймовірність, що 0, 1, 2, 3, 4, 5 зламаються протягом дня?

Рішення:

В даному випадку є всі умови біноміального розподілення:

1. П’ять станків зображають собою п’ять ідентичних дослідів.

2. Станки працюють незалежно один від одного.

3. Можливі два наслідки для кожного з станків – чи він зламається чи ні.

4. Ймовірність поломки однакова 0,2.

Отже, ймовірність безперебійної роботи дорівнює 0,8, звідси ймовірність rполомок протягом дня:

Таблиця 1. Ймовірність поломки станків протягом дня

Число станків		Число варіантів появи	Ймовірність
Зламалися r	Не зламалися 5-r
0	5
1	4
2	3
3	2
4	1
5	0
		Всього	1,0000

Графік дискретної ймовірності розподілення для всіх r.