Дискретні випадкові величини

Визначення 1. Дискретною випадковою величиною – називається така величина Х, яка може набувати скінчену або нескінчену множину значень, тобто елементи якої можемо занумерувати і виписати послідовністю х₁, х₂, ..., х_n, ...

Наприклад. 1) число телефонних дзвінків в час пік на телефонній станції;

кількість пригод у місті протягом доби;
х-діагноз, х₁, х₂, ..., х_n – ступені захворювання.

Визначення 2. Функція р(х), яка співставляє кожному значенню х_і випадкової величини ймовірність цього значення Р(х_і) повністю визначає випадкову величину і називається дискретним розподілом, або функцією ймовірності.

Ця функція може бути задана таблично, графіком, або аналітично (формулою).

Визначення 3. Функція , яка визначає ймовірність того, що випадкова величина х не перевищить х_і, називається інтегральною функцією розподілу

Зрозуміло, що якщо , то , тобто монотонно зростаюча функція, при чому .

Доповнення до одиниці дає ймовірність, що ВВ перевищує значення х_і, тобто

Так як , то ймовірність попадання значень ВВ в інтервал можливо обчислити для даної функції розподілення по формулі

Любу характеристику випадкової величини, з якої по відомим правилам можемо отримати її розподіл, називають законом розподілу цієї величини.

Приклад. Кількість автомобілів, проданих протягом одного дня (дані за місяць).

В.В. – Х, її значення – х_і – кількість проданих за день машин;

f_і – кількість днів (частота) в які продано х_і машин;

Р(х_і) – ймовірність продажу х машин на день;

F(х_і) – монотонно зростаюча функція продажу машин (інтегральна функція).

Частотне розподілення використовується для оцінки ймовірності продажу машин за день:

х_і	f_і	Р(х_і)	F(х_і)	х_і Р(х_і)	х_і² Р(х_і)
0	5	5/30	5/30	0	0
1	4	4/30	9/30	4/30	4/30
2	8	8/30	17/30	16/30	32/30
3	4	4/30	21/30	12/30	36/30
4	6	6/30	27/30	24/30	96/30
5	3	3/30	30/30	15/30	75/30
Всього	30	1	1	71/30 2,37	243/30 8,1

Ймовірність – це відносна частота появи кожного значення дискретної ВВ. Середнє значення і стандартне відхилення можливо знайти за допомогою імовірнісного розподілення і за допомогою частотного розподілення. В цьому випадку використовується відносна частота (ймовірність), яка замінює частоту. Для ймовірного розподілення:

Середнє значення – машин в день.

Дисперсія – .

Середнє значення, яке побудоване на імовірнісному розподіленні, називається математичним очікуванням (при умові багатократного проведення експерименту). Математичне очікування дискретної випадкової величини позначається M[x] чи m_x.

Так як , то математичне очікування має вигляд: