Множина подій
Сукупність всіх можливих реалізацій при даному комплексі умов складає множину елементарних подій. Це визначається, як універсум, а подія – як підмножина універсуму.
Наприклад. В
президентських виборах беруть участь
5 кандидатів
.
В другий тур пройде тільки 2 кандидата
з 5. Яка ймовірність того, що кандидат
пройде в другий тур?
(пройде І тур)
варіантів, які формують множину
елементарних подій.
Несумісні події
Події А і В називаються несумісними, якщо множини їх не перетинаються, тобто
Наприклад. випадання при викиданні двох гральних кісток дубля та непарного числа очків (не може випасти одночасно).
сумісні події
Наприклад. випадання дубля і парного числа очків.
Ця подія – сумісна подія.
Подія, яка полягає в тому, що
реалізуються не сумісні події А або В,
відповідає об’єднанню цих подій,
або диз’юнктивній сумі
тоді ймовірність цієї події
– хоча б одна подія виконується.
Дійсно, якщо mА, mВ –число випадків, які відповідають подіям А, В в серії з n дослідів, тоді
Це можна розповсюдити на любу кількість подій
Якщо об’єднання попарно несумісних подій складає основну множину, то поява однієї з них є подією достовірною, тобто
Приклад. При стрільбі по мішені ймовірність зробити відмінний постріл дорівнює 0,3, а ймовірність зробити постріл на оцінку „добре” дорівнює 0,4. Яка ймовірність отримати за зроблений постріл оцінку не нижче „добре”?
Подія А – добре зроблений постріл.
Тепер окремий випадок:
Пам’ятаємо, що сума всіх подій дорівнює 1. Тоді подія С – це подія погано зробленого пострілу (подія, що погано зроблена). Звідси,
Незалежні події
Події А і В називаються незалежними, якщо ймовірність однієї з них не залежить від реалізації іншої.
Подія, яка заключається в реалізації і події А і події В відповідає перетину цих подій
Приклад. Робітник обслуговує три автоматичних станка, до кожного треба підійти і ліквідувати непоправність, якщо станок зупиниться. Ймовірність того, що перший станок не зупиниться протягом години дорівнює 0,9. Та ж ймовірність, для другого дорівнює 0,8, і для третього – 0,7. Визначити ймовірність того, що протягом години робітнику не треба буде підійти ні до жодного з станків.
– незалежні
– залежні
Умовна ймовірність
Якщо події А і В залежні, то після того, як наступить подія А, ймовірність події В буде відрізнятися від Р(В), яка розрахована без врахування події А.
Означення Ймовірність події В при умові, що відбулася подія А називають умовною ймовірністю і позначають
Запишемо формулу ймовірності одночасного настання двох залежних подій А і В
Звідси,
– це визначення умовної ймовірності.
Приклад. Ймовірність, що ми витягли два білих шари з урни, в якій знаходяться 2 білих та 3 чорних шари (враховуємо, що витягнутий шар не повертається в урну) дорівнює добутку ймовірностей: 1. витягти білий шар 1-й раз (подія А) на ймовірність витягти білий шар 2-й раз (подія В) при умові, що першим був білий шар (відбулася подія А)
,
якщо витягнутий шар повернули
в урну, то А і В незалежні і
.
Тема: Випадкові величини та їх закони розподілення
Випадкова величина – величина, яка приймає в залежності від випадкового наслідку випросувавння ті чи інші значення з визначеними ймовірностями.
Так число очків, які випадають є випадковими величинами, що приймають значення 1, 2, 3, 4, 5, 6 з ймовірністю 1/6 кожне. Якщо випадкова величина (ВВ) приймає скінчену чи нескінчену послідовність різних значень, то її розподілення ймовірностей (закон розподілення) задається показом (указанием) цих значень та відповідних їм ймовірностей.
Тема: Випадкові величини