2.1.3Треугольные нечеткие числа

Теперь для той же лингвистической переменной зададим терм-множество Т₁={U приблизительно равно а}. Ясно, что а    а, причем по мере убывания  до нуля степень уверенности в оценке растет до единицы. Это, с точки зрения функции принадлежности, придает последней треугольный вид (рис.1.5), причем степень приближения характеризуется экспертом.

Теперь для той же лингвистической переменной зададим терм-множество Т₁={U приблизительно равно а}. Ясно, что а    а, причем по мере убывания  до нуля степень уверенности в оценке растет до единицы. Это, с точки зрения функции принадлежности, придает последней треугольный вид (рис.1.5), причем степень приближения характеризуется экспертом.

_(X)

Рис. 1‑5. Функция принадлежности треугольного нечеткого числа

Треугольные числа – это наиболее часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем чаще всего - в оценке прогнозных значений параметра.

2.1.4Лингвистические переменные

В нечеткой логике используется понятие лингвистической переменной, значениями которой являются не числа , а слова естественного языка , называемые термами

Если переменная может принимать значения слов в естественном языке (например, «очень маленький», «средний» и т.п.), то эта переменная определяется как лингвистическая переменная.

Слова, значения которых принимает лингвистическая переменная, обычно обозначают собой нечеткие множества. Лингвистическая переменная может принимать своими значениями либо слова, либо числа. Так, например, для произвольного отдельного финансового или управленческого показателя Х_i лингвистическая переменная В_i «Уровень показателя Х_i» может быть определена нижеследующим терм-множеством значений:

B_i1 – подмножество «очень низкий уровень показателя Х_i»,

B_i2- подмножество «низкий уровень показателя Х_i»,

B_i3 – подмножество «средний уровень показателя Х_i»,

B_i4 - подмножество «высокий уровень показателя Х_i»,

B_i5- подмножество «очень высокий уровень показателя. Х_i.»

2.2Определение интервалов функции принадлежности

При решении задач экономического анализа очень часто встает вопрос о качественной интерпретации тех или иных уровней параметров. Например, финансовому директору компании докладывают: «у нас оборачиваемость активов 0.6». Сразу напрашивается вопрос, много это или мало. Естественно что лингвистическая оценка действует на человека как внятный сигнал и наилучшим образом побуждает его принимать решения.

Но, чтобы провести достоверную лингвистическую оценку уровня параметров, надо сделать, по крайней мере, две вещи:

1. Выбрать лингвистическую шкалу для оценки. «Много/мало» - это простейшая бинарная шкала; «Много – средне – мало» - это тринарная шкала. Очень часто применяется пенташкала (пятиуровневый классификатор) «Очень низкий (ОН) – Низкий (Н) – Средний (Ср) – Высокий (В) – Очень высокий (ОВ)». Шкалы более 7 состояний не целесообразно использовать, так как известно, что в памяти человека удерживается одновременно не более 72 понятий

2. Собрать всю необходимую информацию для лингвистической оценки. Сюда относятся количественные данные, собранные по группе однотипных объектов наблюдения, а также дополнительные закономерности, присущие объектам исследования, которые могут оказать влияние на оценку.

Например, для качественной оценки уровня ликвидности предприятия, необходимо собрать статистическую информацию по аналогичным предприятиям за данный сравнительно небольшой период наблюдения (чтобы соблюсти условие статистической однородности). Одновременно необходимо руководствоваться закономерностями, присущими объектам финансового анализа.

Следует иметь ввиду, что набор функций принадлежности по каждому параметру Х_i , построенный как развернутая экспертная оценка, является эксклюзивной квалификацией предприятия, учитывающей не только специфику собственно бизнеса предприятия, но и его отраслевую принадлежность, а также специфику периода проведения анализа⁴.

Покажем, как строить пенташкалу в простейшем случае.

Пусть имеется одномодальная гистограмма фактора, с «подозрением» на то, что за этой гистограммой стоит нормальное распределение.

Тогда, по общим правилам статистики, определим среднее значение  гистограммы и среднеквадратическое отклонение от среднего (СКО)  и построим набор из пяти узловых точек пятиуровнего классификатора по правилу:

₁ =  - t₁,

₂ =  - t₂,

₃ =  ,

₄ =  + t₂,

₅ =  + t₁, (1.4)

где t_i – коэффициенты, в классической статистике являющиеся коэффициентами Стьюдента. Для каждой узловой точки классификатора справедливо, что в ней уровень фактора распознается, однозначно, со стопроцентной экспертной уверенностью. Например, точка ₁ отвечает очень низкому уровню фактора (ОН), ₂ – состоянию Н и т.д.

Далее поделим каждый отрезок [_i, _i+1] на три зоны: зону абсолютной уверенности, зону пониженной уверенности и зону абсолютной неуверенности. Длины этих трех зон составляют пропорцию 1:u:1, где параметр u0 выражает глубину неуверенности. Так, при u=0 пониженной уверенности нет, и разграничение зон является жестким (интервальным). В противоположном случае, при u=, абсолютной уверенности-неуверенности нет. Для случая стандартной пенташкалы на 01-носителе u=2. Так что выбор u – это дело разработчиков классификатора.

Нанесем дополнительные точки (границы зон уверенности-неуверенности) на ось носителя фактора. Тогда можно в зоне уверенности принять соответствующую функцию принадлежности за 1, в зоне абсолютной неуверенности – за 0, а зону неуверенности описать наклонным ребром соответствующего трапециевидного нечеткого числа.

Т аким образом, первое приближение пенташкалы построено⁵.

.

Рис. 1‑6 Лингвистическая переменная «Уровень комнатной температуры»

Пример 1.2

П о гистограмме вида рис. 1.7 для носителя Х=[0, 10] определяем:  = 4.5, СКО = 2. Также задаемся u=1, т.е. все зоны (уверенности - пониженной уверенности – неуверенности) имеют равную длину.

Рис. 1‑7. Гистограмма нормально распределенной статистики.

Значение 0.5 носителя гистограммы представляется экспертам как очень низкое, а значение 8.5 – очень высокое. Отсюда, сразу следует t₁ = (4.5 – 0.5)/2 = (8.5 – 4.5)/2 = 2. Значение 2 носителя представляется экспертам как низкое, поэтому t₂ = (4.5 – 2)/2 = 1.25. Соответственно, непротиворечивая классификация дает ₄ =  + t₂ = 4.5+1.25*2 = 7.

Таким образом, интервалы зон абсолютной уверенности следующие:

ОН: [0, 0.5+(2-0.5)/3] = [0, 1];

Н: [2-(2-0.5)/3, 2+(4.5-2)/3] = [1.5, 2.83];

Ср: [4.5-(4.5-2)/3, 4.5+(7-4.5)/3] = [3.67, 5.33];

В: [7-(7-4.5)/3, 7+(8.5-7)/3] = [6.17, 7.5];

ОВ: [8.5-(8.5-7)/3, 10] = [8,10];

Соответствующая выделенным узловым точкам и интервалам абсолютной уверенности пенташкала, представлена на рис. 1.8

Рис. 1‑8. Пенташкала для гистограммы рис. 1.7